1. Kesirlerden Rasyonel Sayılara
Daha önce kesirleri bir bütünün eş parçalarını ifade etmek için kullandınız. 7. sınıfta bu bilgiyi genişleterek payı ve paydası tam sayı olan sayıları inceleriz.
Kesirler günlük yaşamda karşımıza çıkar.
Fotoğraftaki ölçü kaplarında 12 ve 13 gibi kesir gösterimleri kullanılmıştır.
Gerçek fotoğraf: Vicki Nunn, Wikimedia Commons — kamu malı.
Hatırla: 34 ifadesinde 3, alınan eş parça sayısını; 4 ise bütünün kaç eş parçaya ayrıldığını gösterir.
Yeni adım: Pay ve paydada yalnızca doğal sayılar değil, tam sayılar da kullanılabilir. Böylece negatif değerleri de kesir biçiminde gösterebiliriz.
34
,
−34
,
05
Bir bütünün eş parçaları
Sekiz eş dilime ayrılan bir pizzada 1 dilim bütünün 18'ini, 3 dilim ise 38'ini temsil eder.
Gerçek fotoğraf: Igor Ovsyannykov, Wikimedia Commons — CC0.
Ölçme durumlarında kesirler
Mutfakta kullanılan farklı ölçü kapları, bir bütünün farklı miktarlarını ölçmemizi sağlar. Örneğin 14 ve 12 gibi kesirler miktar belirtmek için kullanılabilir.
Gerçek fotoğraf: Estabiano, Wikimedia Commons — CC0.
2. Rasyonel Sayı Nedir?
a bir tam sayı, b sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere
ab
biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir.
En önemli koşul: Payda olan b sayısı 0 olamaz.
Rasyonel sayı örneği58 rasyoneldir. Çünkü 5 ve 8 tam sayıdır ve payda 0 değildir.
Rasyonel sayı değildir70 rasyonel sayı belirtmez. Çünkü payda 0'dır.
3. Pay ve Payda Ne Anlatır?
Bir rasyonel sayının kesir biçiminde yazılışında üstteki sayı pay, alttaki sayı paydadır.
PAY
Rasyonel sayının üst kısmıdır. Sıfır, pozitif ya da negatif bir tam sayı olabilir.
PAYDA
Rasyonel sayının alt kısmıdır. Pozitif ya da negatif tam sayı olabilir; fakat 0 olamaz.
Önemli: Payın 0 olması mümkündür. Örneğin 07 = 0'dır.
4. Payda Neden 0 Olamaz?
Kesir çizgisi aynı zamanda bölme anlamı taşır. Bu nedenle paydası 0 olan bir ifade, sıfıra bölme işlemini gerektirir.
80
=8 ÷ 0
→
tanımsız
Bölmenin anlamını kullanalım8 ÷ 2 = 4 ise 2 × 4 = 8'dir. Yani bölüm, çarpma ile kontrol edilebilir.
0 ile aynı şeyi yapamayız0 ile hangi sayıyı çarparsak çarpalım sonuç 0 olur. Sonuç hiçbir zaman 8 olamaz.
Sonuç: 80 gibi paydası 0 olan ifadeler rasyonel sayı değildir.
5. Pozitif, Negatif ve Sıfır Rasyonel Sayılar
Pozitif
57
Değeri sıfırdan büyüktür.
Sıfır
09 = 0
Pay 0, payda 0'dan farklıysa sonuç 0'dır.
Negatif
−38
Değeri sıfırdan küçüktür.
Negatif sayılar gerçek yaşamda da kullanılır.
Termometrede sıcaklık 0 °C’nin altına düştüğünde değer negatif sayıyla ifade edilir. Örneğin −0,5 °C değeri −12 °C biçiminde yazılabilen bir rasyonel sayıdır.
Gerçek fotoğraf: Ngostary2k, Wikimedia Commons — CC0.
6. Negatif İşareti Nerede Yazılabilir?
Bir rasyonel sayının işareti kesrin önünde, payında veya paydasında bulunabilir. Tek bir negatif işaret varsa sayı negatiftir.
−35
=
−35
=
3−5
Aynı rasyonel sayı: Yukarıdaki üç gösterimin değeri aynıdır.
İki negatif işaret olursa ne olur?
−3−5
=
35
Kural: Pay ve paydanın ikisi de negatif olduğunda rasyonel sayı pozitif olur.
7. Tam Sayılar da Rasyonel Sayıdır
Her tam sayı, paydasına 1 yazılarak rasyonel sayı biçiminde gösterilebilir.
6=61
•
−4=−41
•
0=01
Bağlantı: Doğal sayılar → tam sayılar → rasyonel sayılar biçiminde sayı kümeleri genişler.
8. Aynı Rasyonel Sayının Farklı Kesir Gösterimleri
Bir kesrin payı ve paydası aynı sıfırdan farklı sayı ile çarpıldığında veya uygun durumda aynı sayıya bölündüğünde değeri değişmez.
23
=
46
Görselden çıkarım: Boyalı miktar aynı olduğu için 23 ve 46 aynı rasyonel sayıyı gösterir.
9. Uygulayalım: Hangileri Rasyonel Sayıdır?
Her ifadenin paydasını ve sayıların tam sayı olup olmadığını inceleyiniz. Sonra cevabı açınız.
59 rasyonel sayı mıdır?
Evet. 5 ve 9 tam sayıdır, payda 0 değildir.
−74 rasyonel sayı mıdır?
Evet. −7 ve 4 tam sayıdır, payda 0 değildir.
013 rasyonel sayı mıdır?
Evet. Pay 0 olabilir. Payda 13 olduğundan ifade 0'a eşit bir rasyonel sayıdır.
110 rasyonel sayı mıdır?
Hayır. Payda 0 olduğu için ifade tanımsızdır ve rasyonel sayı belirtmez.
−6 rasyonel sayı mıdır?
Evet. −6 = −61 biçiminde yazılabilir.
10. Düşün – Tartış – Açıkla
0 sayısının neden rasyonel sayı olduğunu açıklayınız.
0 sayısı 01, 02, 05 gibi, paydası 0'dan farklı olacak şekilde iki tam sayının oranı biçiminde yazılabilir. Bu nedenle rasyonel sayıdır.
80 ifadesinin neden rasyonel sayı olmadığını bölme işleminin anlamından yararlanarak açıklayınız.
8 ÷ 0 işleminin bir sonucu yoktur. Çünkü 0 ile hangi sayı çarpılırsa çarpılsın 8 elde edilemez. Bu yüzden ifade tanımsızdır.
−4−7 sayısının işareti neden pozitiftir?
Negatif bir sayının negatif bir sayıya bölümü pozitiftir. Bu nedenle −4−7 = 47 olur.
11. Konu Özeti
TanımRasyonel sayı, ab biçiminde yazılabilir; a ve b tam sayıdır.
PaydaPayda hiçbir zaman 0 olamaz.
SıfırPay 0 olabilir. 0b = 0'dır (b ≠ 0).
Tam sayılarHer tam sayı, paydası 1 olan bir rasyonel sayı olarak yazılabilir.
Temel kontrol: Bir ifadenin rasyonel sayı olup olmadığını incelerken önce pay ve paydanın tam sayı olup olmadığına, sonra da paydanın 0 olmamasına bakınız.
Görsel kullanım: Gerçek yaşam örneklerinde fotoğraf; matematiksel ilişkiyi açıkça göstermek gereken yerlerde sade şema kullanılmıştır.
Bu içerikte bilinçli olarak yer verilmeyen konular: rasyonel sayıları sayı doğrusunda gösterme, mutlak değer, ondalık gösterim, karşılaştırma-sıralama ve rasyonel sayılarla işlemler. Bu başlıklar ayrı konu anlatımlarında ele alınacaktır.
Bu içerikte bilinçli olarak yer verilmeyen konular: rasyonel sayıları sayı doğrusunda gösterme, mutlak değer, ondalık gösterim, karşılaştırma-sıralama ve rasyonel sayılarla işlemler. Bu başlıklar ayrı konu anlatımlarında ele alınacaktır.