Uzaklıktan söz edebilmek için bir başlangıç veya referans noktası gerekir.
Günlük yaşamda referans noktası amaca göre değişebilir; mutlak değer gösteriminde ise sayı doğrusundaki
ortak referansımız 0'dır.
Asansörde zemin katı 0 kabul edelim.
Zemin katın 2 kat üstü +2, 2 kat altı −2 ile gösterilebilir.
Bu iki kat farklı yönlerde olmasına rağmen zemin kata uzaklıkları aynıdır: 2 kat.
−2= 2•+2= 2
Görsel: İçerik için özel olarak hazırlanmış asansör paneli görseli.
Önemli ayrım: Günlük yaşamda farklı referanslar seçilebilir. Ancak
a ifadesi, sayı doğrusunda a sayısının 0'a olan uzaklığını gösterir.
2. Mutlak Değer Nedir?
Bir rasyonel sayının sayı doğrusunda 0 noktasına olan uzaklığına o sayının mutlak değeri denir.
a=a sayısının 0'a uzaklığı
0
Referans noktası
Mutlak değerde uzaklık 0'a göre ölçülür.
↔
Yön önemli değildir
Sağda veya solda olması uzaklığın büyüklüğünü değiştirmez.
≥ 0
Negatif olamaz
Uzaklık sıfır veya pozitif bir değerdir.
Temel kural: Bir sayının mutlak değeri hiçbir zaman negatif değildir.
Sonuç 0 veya pozitif olur.
3. +3 ve −3 Neden Aynı Mutlak Değere Sahiptir?
+3 ve −3 sayı doğrusunda 0'ın farklı taraflarındadır; fakat ikisinin de 0'a uzaklığı 3 birimdir.
−3 = 3
−3 sayısı 0'ın solundadır ve 0'a uzaklığı 3 birimdir.
+3 = 3
+3 sayısı 0'ın sağındadır ve 0'a uzaklığı 3 birimdir.
Sonuç: Birbirinin karşıtı olan iki sayının 0'a uzaklıkları eşit olduğu için
mutlak değerleri de eşittir.
4. Pozitif, Negatif ve Sıfırın Mutlak Değeri
Pozitif sayı
5= 5
Pozitif bir sayı zaten 0'a olan uzaklığını gösteren pozitif büyüklüktedir.
Negatif sayı
−5= 5
−5'in 0'a uzaklığı 5 birimdir. Sonuç −5 değil, 5'tir.
Sıfır
0= 0
0'ın kendisine olan uzaklığı 0 birimdir.
Sık yapılan hata: “Mutlak değer negatif işareti siler.” demek tek başına doğru bir açıklama değildir.
Doğru düşünce şudur: Mutlak değer, 0'a olan uzaklığı verir.
5. Rasyonel Sayıların Mutlak Değeri
Mutlak değer yalnızca tam sayılar için kullanılmaz. Kesir biçimindeki rasyonel sayıların da 0'a uzaklığı bulunabilir.
Örnek 1
815=815
815
pozitif olduğu için 0'a uzaklığı aynı değerdir.
Örnek 2
−815=815
−815
sayısı 0'ın solundadır; uzaklığı yine
815
birimdir.
6. Mutlak Değeri Verilen Sayıyı Bulma
Mutlak değer bir uzaklık belirttiği için, 0'dan aynı uzaklıkta çoğu zaman iki farklı sayı bulunur.
x= 4→x = 4 veya x = −4
−4
0'ın solunda 4 birim
0'a uzaklık 4
+4
0'ın sağında 4 birim
Genelleme: Mutlak değeri pozitif bir sayı olan iki karşıt sayı vardır.
Örneğin mutlak değeri 7 olan sayılar −7 ve +7'dir.
Mutlak değeri 0 olan tek sayı ise 0'dır.
7. Günlük Yaşamda Mutlak Değer: Konum ve Hata Miktarı
Mutlak değer, yönü değil farkın büyüklüğünü önemsediğimiz durumlarda kullanışlıdır.
Derinlik örneği
Yer yüzeyini 0 kabul edelim. Yerin 8,6 metre altında bulunan bir su kaynağının konumu
−8,6 ile ifade edilir. Yüzeye uzaklığı ise
−8,6 = 8,6 metredir.
Saat hatası örneği
Gerçek saat 14.00 iken bir saat 13.58'i gösteriyorsa fark −2 dakikadır.
Hatanın büyüklüğü −2 = 2 dakikadır.
Bağlantı: “Yukarı–aşağı”, “ileri–geri”, “fazla–eksik” gibi yön bildiren durumlarda
işaret konumu anlatır; mutlak değer ise referansa olan uzaklığın büyüklüğünü anlatır.
8. Mutlak Değer ve Sayı Doğrusu Üzerinde Uzaklık
Mutlak değeri aynı olan sayılar 0'a eşit uzaklıktadır. Bu bilgiyle sayı doğrusundaki olası konumları düşünebiliriz.
Örnek
Meryem'in sayısının mutlak değeri 12, Cansel'in sayısının mutlak değeri 8 olsun.
Sayılar arasındaki uzaklığın en büyük olması için iki sayı 0'ın farklı taraflarında seçilir.
−12↔0↔+8→20 birim
Aynı şekilde +12 ile −8 arasındaki uzaklık da 20 birimdir.
Fikir: 0'ın iki farklı tarafındaki uzaklıklar birleşir.
Bu nedenle 12 birim ve 8 birimlik uzaklıkların en büyük toplam uzaklığı 20 birim olur.
9. Sık Yapılan Hatalar
Hata 1: −6 = −6 demek
Yanlış. Mutlak değer uzaklıktır ve negatif olamaz:
−6 = 6.
Hata 2: −−6 ile −6'yı karıştırmak
Önce mutlak değer bulunur:
−6 = 6. Dışarıdaki eksi işareti varsa sonuç −6 olur.
Hata 3: Yön ile uzaklığı aynı sanmak
−4 konumu 0'ın solunu gösterir; ancak 0'a uzaklık 4 birimdir.
Hata 4: 0 = 1 demek
Yanlış. 0'ın 0'a uzaklığı 0 birimdir.
10. Uygulayalım
Önce kendiniz çözün. Sonra “Çözümü Göster” düğmesine basarak kontrol edin.
Uygulama 1
−9 işleminin sonucu nedir?
−9 sayısının 0'a uzaklığı 9 birimdir. Bu nedenle −9 = 9.
Uygulama 2
−57
işleminin sonucu nedir?
Sayının 0'a uzaklığı
57
birimdir. Sonuç
57'dir.
Uygulama 3
Mutlak değeri 4 olan sayıları yazınız.
0'a 4 birim uzaklıkta iki sayı vardır: −4 ve +4.
Uygulama 4
Mutlak değeri 4'ten küçük olan tam sayıları yazınız.
0'a uzaklığı 4 birimden küçük olan tam sayılar:
−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.
Uygulama 5
Bir sondaj makinesi yer yüzeyinin 8,6 metre altına indi. Konumu ve bu konumun mutlak değerini yazınız.
Yer yüzeyi 0 kabul edilirse aşağı yön negatif olduğundan konum −8,6'dır.
Mutlak değeri −8,6 = 8,6 olur.
Düşün – Tartış – Açıkla
Neden −3 ve +3 eşittir?
Cevabınızı “sayı doğrusu”, “0” ve “uzaklık” kavramlarını kullanarak açıklayınız.
Bu konu anlatımı mutlak değer, referans noktası, 0'a uzaklık, rasyonel sayıların mutlak değeri
ve mutlak değeri verilen sayıların olası konumları ile sınırlıdır. Rasyonel sayılarda karşılaştırma-sıralama,
ondalık gösterim ve işlemler bu içeriğe dahil edilmemiştir.
