7. Sınıf Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi Konu Anlatımı

1. Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi Nerelerde Karşımıza Çıkar?

Uzunluk, kütle, hacim ve para gibi ölçümlerde kesir biçimindeki bir rasyonel sayıyı ondalık gösterimle yazmak okumayı ve karşılaştırmayı kolaylaştırabilir. Bu derste yalnızca sonlu ondalık gösterimleri ele alacağız.

Süt: 200 mL = 0,2 L

200 mL, 1 litrenin beşte biridir.

Görsel: İçerik için özel hazırlanmış sade süt kartonu görseli.

Hacim ölçümleri

Litre cinsinden ölçüler ondalık gösterimle sık kullanılır.

Görsel: İçerik için özel hazırlanmış sade süt kartonu görseli.

Kütle ölçümleri

Gram cinsinden kesirli ölçüler ondalık biçimde yazılabilir.

Wikimedia Commons — kamu malı.

Uzunluk ve kütle

Ölçme sonuçlarında virgüllü sayılar günlük hayatın parçasıdır.

Wikimedia Commons — kamu malı.

Ana fikir: Kesir ve ondalık gösterim, aynı rasyonel sayının farklı biçimlerde yazılmasıdır. Sayının değeri değişmez; yalnızca gösterimi değişir.

2. Paydası 10, 100 ve 1000 Olan Kesirler

Payda 10'un kuvvetlerinden biri olduğunda kesri ondalık gösterime çevirmek doğrudandır.

Payda 10

310= 0,3

Virgülden sonra 1 basamak.

Payda 100

47100= 0,47

Virgülden sonra 2 basamak.

Payda 1000

61000= 0,006

Virgülden sonra 3 basamak.

Birler

4

4 birlik

Onda birler

2

2/10

Yüzde birler

5

5/100

Binde birler

7

7/1000

4,257

Dikkat: 61000 = 0,006'dır; 0,06 değildir. Paydadaki sıfır sayısı, virgülden sonraki basamak sayısını belirler.

3. Paydası 10'un Kuvveti Değilse Ne Yapılır?

Bazı kesirlerin paydasını genişletme veya sadeleştirme yoluyla 10, 100 ya da 1000 yapabiliriz. Ders kitabındaki yaklaşımın temel adımlarından biri budur.

Örnek 1

15 × 2 = 210 =0,2

Örnek 2

34 × 25 = 75100 =0,75

Örnek 3

720 × 5 = 35100 =0,35

Strateji: Paydanın 10, 100, 1000, ... biçimine dönüştürülüp dönüştürülemeyeceğini düşün. Dönüşüyorsa pay ve paydayı aynı sayı ile çarp veya uygun biçimde sadeleştir.

4. Yüzlük Model ile Ondalık Gösterimi Görmek

35100 kesrinde bütün 100 eş parçaya ayrılmış ve 35 parça alınmıştır. Bu sayı 0,35 olarak yazılır.

100 eş parçanın 35'i boyalı → 35/100 → 0,35

Bağlantı: 0,35 sayısındaki 3 onda birleri, 5 yüzde birleri gösterir. Yani 0,35 = 3/10 + 5/100 = 35/100.

5. Daha Büyük Paydalarda: 10'un Kuvvetine Genişletme

Örnek

138 sayısını ondalık gösterime çevirelim.

138 × 125 = 16251000 = 1,625

Çünkü 8 × 125 = 1000. Pay da aynı sayı ile çarpılır: 13 × 125 = 1625.

Negatif sayılarda: Önce kesrin büyüklüğünü ondalık gösterime çeviririz, sonra negatif işareti koruruz: −138 = −1,625.

6. İkinci Yol: Payı Paydaya Bölme

Bir rasyonel sayı ab biçimindeyse ondalık gösterimi bulmak için a ÷ b işlemi yapılabilir.

1

Payı bölünen yap

Kesrin payını paydaya böl.

2

Gerekirse virgül kullan

Kalan varsa bölme işlemine ondalık basamaklarla devam et.

3

İşareti koru

Kesir negatifse sonuç da negatiftir.

Örnek: 3/8

Bölme işleminin adımları

1. 3, 8'den küçük olduğu için bölümün tam kısmı 0 olur ve virgül konur.

2. 3 sayısı 3,000 biçiminde düşünülerek bölme işlemine devam edilir.

3. 30 ÷ 8 = 3, kalan 6'dır. Bölümün ilk ondalık basamağı 3 olur.

4. Kalan 6'nın yanına 0 indirilir: 60 ÷ 8 = 7, kalan 4'tür.

5. Kalan 4'ün yanına 0 indirilir: 40 ÷ 8 = 5, kalan 0'dır.

Böylece 3 ÷ 8 = 0,375 bulunur.

38 =0,375

Kontrol: Aynı sayıyı genişletme yoluyla da bulabiliriz: 38 = 3751000 = 0,375. İki yöntem aynı sonuca ulaştırır.

7. Hangi Kesirler Sonlu Ondalık Gösterime Dönüşür?

Ders kitabındaki önemli genellemeye göre, kesri önce en sade hâline getiririz. Sonra paydayı inceleriz.

Kural: En sade hâlde paydanın asal çarpanları yalnızca 2 ve/veya 5 ise kesir sonlu ondalık gösterimle yazılabilir.

3/8 sonludur. 8 = 2 × 2 × 2. Paydada yalnızca 2 asal çarpanı vardır.

222

7/20 sonludur. 20 = 2 × 2 × 5. Paydada yalnızca 2 ve 5 asal çarpanları vardır.

225

Önce sadeleştir!

1824 = 34 =0,75

İlk bakışta 24'ün içinde 3 asal çarpanı da vardır; ancak kesir önce sadeleştirildiğinde payda 4 olur. Bu nedenle karar verirken en sade hâl kullanılır.

Bu derste sınırımız: En sade hâlde paydası yalnızca 2 ve/veya 5 asal çarpanlarından oluşmayan kesirlerin ondalık gösterimini burada incelemiyoruz. Bu durum bir sonraki konunun kapsamındadır.

8. Sonlu Ondalık Gösterimi Kesre Çevirme

Dönüşüm iki yönlüdür. Virgülden sonraki basamak sayısına göre paydaya 10, 100 veya 1000 yazılır, ardından kesir mümkünse sadeleştirilir.

0,25

0,25 = 25100 = 14

1,4

1,4 = 1410 = 75

−2,15

−2,15 = − 215100 = − 4320

0,007

0,007 = 71000

9. Dönüşüm Tablosu

Rasyonel sayı	10'un kuvvetli payda	Ondalık gösterim	Yöntem
15	2/10	0,2	2 ile genişletme
34	75/100	0,75	25 ile genişletme
720	35/100	0,35	5 ile genişletme
38	375/1000	0,375	125 ile genişletme veya bölme
−138	−1625/1000	−1,625	125 ile genişletme veya bölme

10. Sık Yapılan Hatalar

Hata 1: Basamak sayısını yanlış yazmak 6/1000 = 0,006'dır. 0,06 yazılırsa 6/100 elde edilir.

Hata 2: Yalnız paydayı genişletmek Kesrin değeri değişmemesi için pay ve payda aynı sayı ile çarpılmalıdır.

Hata 3: Sadeleştirmeden karar vermek Sonlu olup olmadığını incelerken kesir önce en sade hâline getirilmelidir.

Hata 4: Negatif işareti kaybetmek −3/4 = −0,75'tir. Dönüşüm işareti değiştirmez.

11. Uygulayalım

Önce siz çözün, ardından düğmeye basarak cevabınızı kontrol edin.

Uygulama 1

925 rasyonel sayısını ondalık gösterime çeviriniz.

Paydayı 100 yapmak için 4 ile genişletiriz: 925 = 36100 = 0,36.

Uygulama 2

720 rasyonel sayısının ondalık gösterimi nedir?

20 × 5 = 100 olduğundan 720 = 35100 = 0,35.

Uygulama 3

−38 rasyonel sayısını ondalık gösterimle yazınız.

8 × 125 = 1000. 38 = 3751000 = 0,375 olduğuna göre sonuç −0,375'tir.

Uygulama 4

0,45 ondalık gösterimini en sade rasyonel sayı biçiminde yazınız.

0,45 = 45100 = 920.

Uygulama 5

1824 kesrinin sonlu ondalık gösterime dönüşüp dönüşmediğini, paydayı inceleyerek açıklayınız.

Önce sadeleştiririz: 1824 = 34. 4 = 2 × 2 olduğundan paydada yalnızca 2 asal çarpanı vardır. Bu nedenle sonlu gösterimlidir ve 0,75'e eşittir.

Uygulama 6

Ece “Paydası 10, 100 veya 1000 olmayan kesirler sonlu ondalık gösterimle yazılamaz.” diyor. 38 örneğini kullanarak Ece'nin düşüncesini değerlendiriniz.

Ece'nin düşüncesi doğru değildir. Çünkü 8 doğrudan 10, 100 veya 1000 değildir; ancak 8 × 125 = 1000 olduğundan 38 = 3751000 = 0,375 olur.

Düşün – Tartış – Açıkla

Bir kesrin paydası 10'un kuvveti değilken de neden sonlu ondalık gösterime dönüşebilir? Cevabınızı denk kesir, genişletme ve 10'un kuvvetleri kavramlarını kullanarak açıklayınız.

Konu sınırı: Bu içerikte yalnızca rasyonel sayıların sonlu ondalık gösterimleri, kesir–ondalık dönüşümleri, payı paydaya bölme yöntemi ve sonlu gösterim için paydanın asal çarpanları ele alınmıştır. Sonsuza devam eden özel ondalık gösterim türleri bu derse bilinçli olarak dahil edilmemiştir; bir sonraki konunun kapsamındadır.