7. Sınıf Devirli Ondalık Gösterim Konu Anlatımı

1. Devirli Ondalık Gösterim Nedir?

Bazı rasyonel sayılarda payı paydaya böldüğümüzde işlem sonlanmaz; virgülden sonraki bir rakam veya rakam grubu belirli bir düzenle tekrar eder.

Ekranında 0.333333333 görünen hesap makinesi

Hesap makinesinde 1 ÷ 3 işlemi

Ekranda 0,333333... biçiminde art arda 3'ler görülür. Hesap makinesi ekranı sınırlı olduğu için yalnızca belirli sayıda basamak gösterir. Matematikte bu tekrarın sonsuza kadar sürdüğünü belirtmek için devir çizgisi kullanılır.

0,3333…=0,3

Görsel bu ders içeriği için özel olarak hazırlanmış ve sıkıştırılmıştır.

Tanım: Virgülden sonra bir rakamın veya rakam grubunun sonsuza kadar düzenli biçimde tekrar ettiği ondalık gösterimlere devirli ondalık gösterim denir.

2. Devir Çizgisi Nasıl Okunur?

Devir çizgisi yalnızca tekrar eden rakamların üzerine yazılır.

0,4

0,4444…

Yalnız 4 devreder.

0,27

0,272727…

27 rakam grubu devreder.

1,23

1,23333…

2 devretmez, yalnız 3 devreder.

Dikkat: 0,27 ile 0,27 aynı sayı değildir. İlkinde 27, ikincisinde yalnızca 7 tekrar eder.

3. Devir Neden Oluşur?

Bölme işleminde daha önce karşılaştığımız bir kalan tekrar ortaya çıkarsa, bundan sonraki bölüm basamakları da aynı sırayla tekrar eder.

Örnek: 1/3

1 ÷ 3→Kalan 1→10 ÷ 3 = 3→Kalan yine 1

Kalan yeniden 1 olduğu için aynı işlem yeniden başlar. Bu yüzden bölümde 3 rakamı sonsuza kadar tekrar eder.

13=0,3

Örnek: 2/11

211=0,181818…=0,18

Burada tekrar eden grup tek bir rakam değil, 18 rakam grubudur.

4. Devreden ve Devretmeyen Basamaklar

Bazı ondalık gösterimlerde tekrar hemen başlamaz. Önce tekrar etmeyen basamaklar, sonra devreden bölüm gelir.

56 = 0,83 8 rakamı yalnız bir kez yazılır; 3 devreder.

730 = 0,23 2 devretmeyen basamaktır; 3 devreden basamaktır.

Kavramlar: Tekrar başlamadan önceki basamaklara devretmeyen basamaklar, düzenli biçimde tekrar eden basamaklara devreden basamaklar denir.

5. Hangi Kesirlerin Ondalık Gösterimi Devirlidir?

Kesri önce en sade hâline getiririz. En sade hâlde paydada 2 ve 5 dışında bir asal çarpan varsa ondalık gösterim devirlidir.

1/8 → sonlu8 = 2 × 2 × 2. Yalnız 2 asal çarpanı var.

7/20 → sonlu20 = 2 × 2 × 5. Yalnız 2 ve 5 var.

1/3 → devirliPaydada 3 asal çarpanı var.

2/7 → devirliPaydada 7 asal çarpanı bulunduğu için sonlu olarak bitmez.

5/12 → devirli12 = 2 × 2 × 3. Paydada 3 bulunduğu için devirlidir.

Önce sadeleştir: Karar vermeden önce kesir mutlaka en sade hâline getirilmelidir.

6. Devirli Ondalık Gösterimi Kesre Çevirme

Ders kitabındaki kurala göre pay ve payda, devreden ve devretmeyen basamak sayılarına göre oluşturulur.

Virgülü kaldır

Virgül ve devir çizgisini dikkate almadan rakamların tamamını bir sayı gibi yaz.

Çıkarma yap

Bu sayıdan devretmeyen rakamların oluşturduğu sayıyı çıkar.

Paydayı oluştur

Devreden basamak kadar 9, devretmeyen ondalık basamak kadar 0 yaz.

Örnek 1: 0,4̅

0,4=49

1 devreden basamak vardır → paydaya 1 tane 9 yazılır.

Örnek 2: 0,36̅

0,36=3699=411

2 devreden basamak vardır → paydaya 99 yazılır.

Örnek 3: 0,2(3)

0,23= 23 − 290 =2190 =730

1 devreden basamak → 9, 1 devretmeyen ondalık basamak → 0. Bu nedenle payda 90'dır.

Örnek 4: 2,1(5)

2,15= 215 − 2190 =19490 =9745

7. 9 ve 0 Kuralını Doğru Kurmak

Devirli gösterim	Devreden basamak	Devretmeyen ondalık basamak	Payda
0,7	1	0	9
0,24	2	0	99
0,36	1	1	90
1,245	2	1	990

Hatırlatma: 9'lar devreden basamakları, 0'lar ise virgülden sonraki devretmeyen basamakları temsil eder.

8. 0,999… Gerçekten 1'e Eşit midir?

Evet. Ders kitabında da bu eşitlik farklı stratejilerle sorgulatılır.

1. Yol: Kesre çevirme

0,9=99=1

2. Yol: 1/3 bağlantısı

13= 0,3

3 × 0,3= 0,9= 1

Sonuç: 0,999… ile 1 arasında herhangi bir fark yoktur; bunlar aynı sayının iki farklı gösterimidir.

9. Sık Yapılan Hatalar

Devir çizgisini fazla basamak üzerine koymak0,23 sayısında yalnız 3 tekrar eder; 23 değil.

Paydaya yanlış sayıda 9 yazmakİki basamak devrediyorsa 9 değil, 99 yazılır.

Devretmeyen basamak için 0 yazmayı unutmak0,23 için payda 9 değil, 90'dır.

Kesri sadeleştirmemekElde edilen kesir mümkünse en sade hâle getirilmelidir.

10. Uygulayalım

Önce siz çözün, sonra “Çözümü Göster” düğmesiyle kontrol edin.

Uygulama 1

16 sayısının ondalık gösteriminde hangi rakam devreder?

1 ÷ 6 = 0,1666… olduğundan 6 devreder: 0,16.

Uygulama 2

0,7 sayısını kesir biçiminde yazınız.

1 basamak devreder: 7/9.

Uygulama 3

0,45 sayısını en sade kesir biçiminde yazınız.

45/99 = 5/11.

Uygulama 4

0,16 sayısını kesre çeviriniz.

(16 − 1)/90 = 15/90 = 1/6.

Uygulama 5

2,34 sayısına karşılık gelen kesri bulunuz.

(234 − 23)/90 = 211/90.

Uygulama 6

712 kesrinin ondalık gösteriminin neden devirli olduğunu açıklayınız.

12 = 2² × 3'tür. En sade paydada 2 ve 5 dışında 3 asal çarpanı bulunduğu için gösterim devirlidir.

Uygulama 7

0,9 ile 1 arasındaki ilişki nedir?

0,9 = 9/9 = 1. İki ifade aynı sayıyı gösterir.

Düşün – Tartış – Açıkla

Bir bölme işleminde aynı kalan yeniden ortaya çıktığında neden bölümdeki rakamlar da tekrar etmeye başlar? Cevabınızı “kalan”, “bölme işlemi” ve “tekrar” kavramlarını kullanarak açıklayınız.

Konu sınırı: Bu içerik devirli ondalık gösterimin tanımı, devir çizgisi, devreden/devretmeyen basamaklar, kesir–devirli ondalık dönüşümü ve 0,999… = 1 ilişkisi ile sınırlıdır.