8. Sınıf Bir Doğal Sayının Çarpanları Konu Anlatımı

1. Bir Doğal Sayının Çarpanları Nedir?

Bir doğal sayıyı iki doğal sayının çarpımı şeklinde yazdığımızda, çarpımı oluşturan sayıların her birine o doğal sayının çarpanı denir. Bir doğal sayının çarpanları aynı zamanda o sayının kalansız bölenleridir.

24 öğrenci kaç farklı biçimde eşit gruplara ayrılabilir?

24 kişilik bir sınıfta her grupta eşit sayıda öğrenci olması istenirse, grup büyüklüğü 24'ü kalansız bölmelidir. Bu yüzden 24'ün çarpanlarını bulmamız gerekir.

24 = 1×24 = 2×12 = 3×8 = 4×6

24'ün pozitif çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24'tür.

Fotoğraf: Timur Shakerzianov / Unsplash

Temel kural: Her pozitif doğal sayının en küçük pozitif çarpanı 1, en büyük pozitif çarpanı ise sayının kendisidir.

2. Çarpanları Sistemli Bulma

Çarpanları eksiksiz bulmanın en güvenli yolu, 1'den başlayarak çarpım çiftlerini sırayla oluşturmaktır.

Örnek: 40'ın çarpanları

1 × 40

2 × 20

4 × 10

5 × 8

Buradan 40'ın pozitif tam sayı çarpanları:

1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

Örnek: 52'nin çarpanları

1 × 52

2 × 26

4 × 13

52 → 1, 2, 4, 13, 26, 52

Pratik yöntem: Çarpım çiftleri tekrar etmeye başladığında durabiliriz. Örneğin 40 için 5 × 8 çiftinden sonra 8 × 5 geleceği için yeni bir çarpan oluşmaz.

3. Çarpan mı, Kat mı?

Çarpanlar sonludur.
12'nin çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Katlar sonsuzdur.
12'nin katları: 12, 24, 36, 48, 60, ...

Sık hata: “12, 3'ün çarpanıdır.” demek yanlıştır. Doğrusu: 3, 12'nin çarpanıdır ve 12, 3'ün katıdır.

4. Asal Sayılar ve Asal Çarpanlar

Sadece 1'e ve kendisine kalansız bölünebilen, 1'den büyük doğal sayılara asal sayı denir.

100'e kadar asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Örnek: 30
Çarpanları: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
Asal çarpanları: 2, 3 ve 5.

Dikkat
1 asal sayı değildir. Çünkü asal sayının tam olarak iki pozitif çarpanı olmalıdır.

5. Bir Sayıyı Asal Çarpanlarına Ayırma

Bir doğal sayıyı asal sayıların çarpımı biçiminde yazmak için çarpan ağacı veya bölen listesi kullanılabilir.

Çarpan ağacı: 56

↙ ↘

228

↙ ↘

214

↙ ↘

56 = 2 × 2 × 2 × 7 = 2³ × 7

Bölen listesi: 72

722

362

182

72 = 2³ × 3²

En küçük asal sayıdan başla

Sayı 2'ye bölünebiliyorsa önce 2'yi kullan.

Bölmeye devam et

Bölüm 1 olana kadar uygun asal sayılarla böl.

Üslü biçimde yaz

Aynı asal çarpanları üs kullanarak kısalt.

6. Çarpan Sayısını Bulma

Çarpanları tek tek listelemek mümkündür. Asal çarpanların üsleri kullanılarak daha hızlı bir yöntem de uygulanabilir.

Örnek: 24

24 = 2³ × 3¹

24'ün her pozitif çarpanı 2'nin üssü için 0, 1, 2 veya 3; 3'ün üssü için 0 veya 1 seçilerek oluşturulur.

(3 + 1) × (1 + 1) = 8 çarpan

Kontrol: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 → gerçekten 8 çarpan.

Örnek: M = 2² × 3 × 5

(2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 3 × 2 × 2 = 12

M sayısının 12 pozitif tam sayı çarpanı vardır.

Kural: n = p^a × q^b × r^c ... biçimindeyse pozitif çarpan sayısı (a+1)(b+1)(c+1)... ile bulunur.

7. Gerçek Hayatta Çarpanlar

Eşit gruplama, paketleme, dizme ve dikdörtgen oluşturma problemleri çarpan kavramının en sık kullanıldığı durumlardır.

30 yumurtayı eşit paketlere ayırma

Her pakette eşit sayıda yumurta olacaksa paket başına yumurta sayısı 30'un bir çarpanı olmalıdır.

30 → 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Örneğin 5'erli paketler yapılırsa 6 paket; 10'arlı paketler yapılırsa 3 paket gerekir.

Fotoğraf: Denny Sachtleben / Unsplash

48 kutuyu eşit raflara yerleştirme

Her rafta aynı sayıda kutu olması için raf başına kutu sayısı 48'i kalansız bölmelidir.

48 = 1×48 = 2×24 = 3×16 = 4×12 = 6×8

Bu problemde “eşit sayıda” ve “hiç artmayacak” ifadeleri çarpan düşünmemiz gerektiğini gösterir.

Fotoğraf: Jacques Dillies / Unsplash

8. Bağlam Temelli Çözümlü Sorular

Soru 1 - Dikdörtgen

Alanı 42 cm² olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları doğal sayıdır. Kısa kenarın alabileceği farklı doğal sayı değerleri kaç tanedir?

42 = 1×42 = 2×21 = 3×14 = 6×7.
Kısa kenar 1, 2, 3 veya 6 olabilir. 4 farklı değer vardır.

Soru 2 - Sınıf Düzeni

36 öğrenci, her grupta eşit sayıda öğrenci olacak ve her grupta en az 4 öğrenci bulunacak biçimde gruplara ayrılıyor. Bir gruptaki öğrenci sayısı kaç farklı değer alabilir?

36'nın çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36'dır. En az 4 öğrenci koşulunu sağlayanlar 4, 6, 9, 12, 18, 36 olduğundan 6 farklı değer vardır.

Soru 3 - Bahçe

Alanı 60 m² olan dikdörtgen biçimindeki bir bahçenin kenar uzunlukları metre cinsinden doğal sayıdır. Bahçenin çevresi en az kaç metre olabilir?

60'ın çarpan çiftleri: 1×60, 2×30, 3×20, 4×15, 5×12, 6×10. Çevre en küçük, kenarlar birbirine en yakın olduğunda olur: 6 ve 10. Çevre = 2(6+10)=32 m.

Soru 4 - Kutu Yerleşimi

Bir depoda 72 ürün, her kutuda eşit sayıda ürün olacak biçimde paketlenecektir. Her kutuda 5'ten fazla ve 20'den az ürün olması isteniyor. Bir kutuda kaç farklı sayıda ürün bulunabilir?

72'nin çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. 5'ten fazla ve 20'den az olanlar 6, 8, 9, 12 ve 18. Cevap: 5 farklı değer.

9. Etkileşimli Çarpan Bulucu

Bir doğal sayı girin. Çarpanlarını ve çarpan sayısını anında görün.

2 ile 10 000 arasında bir doğal sayı girebilirsiniz.

10. Uygulayalım

Önce kendiniz çözün. Ardından cevabı açarak kontrol edin.

Uygulama 1

18 sayısının pozitif çarpanlarını bulunuz.

1, 2, 3, 6, 9, 18.

Uygulama 2

49 sayısının pozitif çarpanlarını bulunuz.

1, 7, 49.

Uygulama 3

90 sayısını asal çarpanlarının çarpımı biçiminde yazınız.

90 = 2 × 3 × 3 × 5 = 2 × 3² × 5.

Uygulama 4

96 sayısını tabanları asal sayı olan üslü ifadelerin çarpımı biçiminde yazınız.

96 = 32 × 3 = 2⁵ × 3.

Uygulama 5

2³ × 3² sayısının kaç pozitif çarpanı vardır?

(3+1)(2+1)=4×3=12.

Uygulama 6

Asal çarpanları yalnızca 2 ve 5 olan iki basamaklı üç doğal sayı örneği yazınız.

Örneğin 10, 20, 40, 50, 80 gibi sayılar seçilebilir. Bunlardan herhangi üçü uygundur.

Uygulama 7

Bir sayının kendisi dışındaki en büyük pozitif çarpanı 42 ise bu sayı en az kaç olabilir?

42, sayının kendisi dışındaki en büyük çarpanı ise sayının en küçük olabilmesi için diğer çarpan 2 alınır: 42×2=84.

Uygulama 8

Bir doğal sayının çarpanları 1, 2, 4, 8 ve 16 olduğuna göre sayı kaçtır?

En büyük çarpan sayının kendisidir. Cevap: 16.

11. Mini Kontrol

Seçeneğe tıklayın. Sistem cevabınızı anında değerlendirsin.

Soru 1

72 sayısının çarpanlarından hangisidir?

Soru 2

Hangisinin pozitif çarpan sayısı en fazladır?

Soru 3

M = 2² × 3 × 5 olduğuna göre M'nin pozitif çarpan sayısı kaçtır?

Soru 4

30 sayısının farklı asal çarpanları hangileridir?

Düşün - Açıkla

Bir doğal sayının pozitif çarpanları neden çiftler hâlinde bulunur? Tam kare sayılarda bu durumun farklı görünmesinin sebebi nedir? 36 sayısını kullanarak açıklayınız.

12. Sık Yapılan Hatalar

1'i unutmakHer pozitif doğal sayının çarpanlarından biri 1'dir.

Sayının kendisini unutmakBir sayının en büyük pozitif çarpanı kendisidir.

Asal çarpan ile çarpanı karıştırmak12'nin çarpanları 1,2,3,4,6,12; asal çarpanları yalnız 2 ve 3'tür.

Çarpım çiftini iki kez saymak3×8 ile 8×3 aynı çarpan çiftini verir.

Konu sınırı: Bu içerik pozitif tam sayı çarpanları, asal sayılar, asal çarpanlara ayırma, üslü biçimde gösterme ve çarpan sayısını belirleme ile sınırlıdır. EBOB ve EKOK bir sonraki konu anlatımında ele alınacaktır.