8. Sınıf En Büyük Ortak Bölen (EBOB) Konu Anlatımı

1. Ortak Bölen ve EBOB Nedir?

İki veya daha fazla doğal sayıyı kalansız bölen sayılara ortak bölen, bu ortak bölenlerin en büyüğüne ise En Büyük Ortak Bölen (EBOB) denir.

Örnek: 24 ve 36

24'ün bölenleri
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

36'nın bölenleri
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Ortak bölenler: 1, 2, 3, 4, 6, 12

EBOB(24, 36) = 12

Gösterim: A ve B doğal sayıları için en büyük ortak bölen EBOB(A, B) biçiminde gösterilir.

2. EBOB'u Bölenleri Listeleyerek Bulma

Sayılar küçük olduğunda en anlaşılır yöntem, her iki sayının bölenlerini ayrı ayrı yazıp ortak olanların en büyüğünü seçmektir.

Çözümlü Örnek: 30 ve 45

30 → 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

45 → 1, 3, 5, 9, 15, 45

Ortak → 1, 3, 5, 15

En büyük → 15

EBOB(30, 45) = 15

İpucu: “Ortak bölen” ararken her iki sayıyı da kalansız bölen sayıları ararız. EBOB ise bunların yalnızca en büyüğüdür.

3. Bölen Listesi Yöntemiyle EBOB

İki sayı yan yana yazılır. İkisini birden bölen asal sayılar işaretlenerek çarpılır. Yalnızca bir sayıyı bölen asal çarpan EBOB'a alınmaz.

Örnek: EBOB(42, 56)

42562

21282

21147

322

313

İki sayıyı aynı anda bölen asal çarpanlar 2 ve 7'dir.

EBOB(42, 56) = 2 × 7 = 14

Dikkat: Bölen listesinde sağ taraftaki bütün asal sayıları çarpmak EBOB'u vermez. Yalnızca iki sayıyı da aynı adımda bölen asal çarpanlar kullanılır.

4. Asal Çarpanlardan EBOB Bulma

Sayıları asal çarpanlarının çarpımı biçiminde yazdığımızda ortak asal çarpanların küçük üsleri alınır.

72'nin asal çarpanları

72 = 2³ × 3²

96'nın asal çarpanları

96 = 2⁵ × 3

EBOB(72,96) = 2³ × 3 = 24

Neden küçük üs? Ortak bölen, her iki sayıyı da kalansız bölmelidir. Bu nedenle ortak asal çarpanın iki sayıdaki üslerinden daha büyük olanını kullanamayız.

5. EBOB Problemini Nasıl Tanırız?

Soruda amaç, iki ya da daha fazla miktarı artırmadan ve eşit büyüklükte parçalara ayırırken bu parçayı olabildiğince büyük seçmekse EBOB düşünülür.

en büyük eşit parçaen uzun parçaen büyük paketen geniş eşit aralıkhiç artmayacakeşit gruplar

Önemli: Bir soruda yalnızca “en az” veya “en fazla” sözcüğünün geçmesi tek başına EBOB işareti değildir. Miktarların ortak bir bölenle eşit ve artıksız bölünmesi gerekir.

6. Gerçek Hayat: Ağaçları En Geniş Aralıkla Dikme

Sıralar hâlinde ağaçların bulunduğu tarım arazisi

100 m × 60 m dikdörtgen bir tarla

Tarlanın kenarlarına, köşelere de gelecek biçimde eşit aralıklarla fidan dikilecek. Fidanlar arasındaki mesafenin olabilecek en büyük değeri için her iki kenarı da tam bölen en büyük sayı gerekir.

EBOB(100, 60) = 20 m

En geniş eşit aralık 20 metre olur. Tarlanın çevresi 320 m olduğundan kapalı çevrede toplam 320 ÷ 20 = 16 eşit aralık oluşur; dolayısıyla 16 fidan konumu vardır.

Fotoğraf: Strigoo Studios / Unsplash

7. Gerçek Hayat: En Büyük Eşit Paketler

84 kg nohut ve 119 kg bulgur

İki ürün birbirine karıştırılmadan, hiç artmayacak ve her torbanın kütlesi aynı olacak biçimde en büyük torbalara doldurulsun.

EBOB(84,119) = 7

Her torba en fazla 7 kg olabilir. Nohut için 84÷7=12, bulgur için 119÷7=17 torba gerekir. Toplam 29 torba kullanılır.

Fotoğraf: Thilina Alagiyawanna / Unsplash

8. Gerçek Hayat: Çubukları Eşit Parçalara Ayırma

72 cm ve 63 cm uzunluğunda iki çubuk

Çubuklar hiç artmayacak biçimde, mümkün olan en uzun eş parçalara ayrılacaksa parça uzunluğu iki sayının EBOB'udur.

EBOB(72,63) = 9 cm

72÷9=8 ve 63÷9=7 olduğundan toplam 15 parça elde edilir.

Fotoğraf: Lawrence Chismorie / Unsplash

9. Bağlam Temelli Çözümlü Sorular

Soru 1 - Sınıf Grupları

8/A sınıfında 32, 8/B sınıfında 40 öğrenci vardır. Her grupta yalnızca aynı sınıftan öğrenciler bulunacak ve bütün gruplarda öğrenci sayısı eşit olacaktır. Grup sayısı en az olsun istendiğine göre her grupta kaç öğrenci bulunur ve toplam kaç grup oluşur?

Grup sayısını azaltmak için grup mevcudu mümkün olduğunca büyük olmalıdır. EBOB(32,40)=8. 8/A: 32÷8=4 grup, 8/B: 40÷8=5 grup. Toplam 9 grup.

Soru 2 - Bahçe Çevresi

Kenar uzunlukları 144 m ve 120 m olan dikdörtgen bir bahçenin çevresine, köşelere de gelecek biçimde eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. İki ağaç arasındaki mesafe en fazla kaç metre olabilir?

Aralık uzunluğu hem 144'ü hem 120'yi bölmelidir. En büyük ortak bölen: EBOB(144,120)=24. En büyük aralık 24 m.

Soru 3 - Şerit Kesme

90 cm ve 126 cm uzunluğundaki iki kurdele, hiç artmayacak şekilde eşit ve mümkün olan en uzun parçalara ayrılacaktır. Bir parçanın uzunluğu kaç santimetre olur? Toplam kaç parça elde edilir?

EBOB(90,126)=18. Parça uzunluğu 18 cm'dir. 90÷18=5 ve 126÷18=7 olduğundan toplam 12 parça elde edilir.

Soru 4 - Meyve Kasaları

96 elma ve 144 armut, meyveler birbirine karıştırılmadan ve her kasada eşit sayıda meyve olacak biçimde kasalara yerleştirilecektir. Bir kasadaki meyve sayısı en fazla kaç olabilir? Kaç kasa gerekir?

EBOB(96,144)=48. Her kasada en fazla 48 meyve olur. Elmalar için 2, armutlar için 3 kasa gerekir; toplam 5 kasa.

Soru 5 - Kare Fayans

Ölçüleri 84 cm ve 108 cm olan dikdörtgen bir pano, kesme yapılmadan aynı büyüklükte kare parçalarla kaplanacaktır. Kullanılabilecek en büyük karenin bir kenarı kaç santimetredir?

Karenin bir kenarı hem 84'ü hem 108'i tam bölmelidir. EBOB(84,108)=12. En büyük karenin kenarı 12 cm.

10. Etkileşimli EBOB Bulucu

İki doğal sayı girin. Ortak bölenleri ve EBOB değerini anında görün.

1 ile 100 000 arasında iki doğal sayı girebilirsiniz.

11. Uygulayalım

Önce kendiniz çözün, sonra çözümü açın.

Uygulama 1

48 ve 60 sayılarının ortak bölenlerini ve EBOB'unu bulunuz.

Ortak bölenler: 1, 2, 3, 4, 6, 12. EBOB(48,60)=12.

Uygulama 2

EBOB(54,90) kaçtır?

54=2×3³, 90=2×3²×5. Ortak asal çarpanların küçük üsleri: 2×3²=18.

Uygulama 3

108 ve 180 sayılarının EBOB'unu bulunuz.

108=2²×3³, 180=2²×3²×5. EBOB=2²×3²=36.

Uygulama 4

75 ve 100 sayılarının EBOB'u kaçtır?

75=3×5², 100=2²×5². Ortak kısım 5² olduğundan EBOB=25.

Uygulama 5

İki sayıdan biri diğerini kalansız bölüyorsa bu iki sayının EBOB'u hakkında ne söylenebilir? 18 ve 72 üzerinden açıklayınız.

18, 72'yi kalansız böler. 18'in bütün bölenleri 72'nin de bölenidir ve ortak bölenlerin en büyüğü 18'dir. EBOB(18,72)=18.

Uygulama 6

İki doğal sayının EBOB'u 1 ise bu sayılar için hangi ifade kullanılır?

Bu iki sayı aralarında asaldır. Bu kavram sonraki konu anlatımında ayrıntılı ele alınacaktır.

12. Mini Kontrol

Seçeneğe tıklayın. Cevabınız anında değerlendirilsin.

Soru 1

20 ve 50 sayılarının EBOB'u kaçtır?

Soru 2

EBOB(72,96) kaçtır?

Soru 3

90 cm ve 126 cm'lik iki şerit eşit ve mümkün olan en uzun parçalara ayrılıyor. Bir parçanın uzunluğu kaç cm'dir?

Soru 4

Bir problemde iki miktar hiç artmadan aynı büyüklükte ve mümkün olan en büyük paketlere ayrılıyorsa hangi kavram kullanılır?

Düşün - Açıkla

Neden “en büyük eşit parça” sorularında EBOB kullanırız? 24 ve 36 sayılarını örnek vererek kendi cümlelerinizle açıklayınız.

13. Sık Yapılan Hatalar

Ortak bölenlerden birini EBOB sanmak
24 ve 36'nın 6 ortak bölenidir; fakat EBOB 12'dir.

Bölen listesinde tüm asal sayıları çarpmak
EBOB için yalnızca sayıları birlikte bölen asal çarpanlar alınır.

Asal çarpanlarda büyük üssü almak
EBOB hesaplanırken ortak asal çarpanların küçük üsleri seçilir.

Her “en az/en fazla” ifadesinde EBOB kullanmak
Önce eşit ve artıksız bölme koşulunun olup olmadığını kontrol edin.

Konu sınırı: Bu içerik ortak bölen ve EBOB kavramı, EBOB bulma yöntemleri ve EBOB gerektiren bağlam temelli problemlerle sınırlıdır. EKOK bir sonraki konu anlatımında ele alınacaktır.