8. Sınıf En Küçük Ortak Kat (EKOK) Konu Anlatımı

1. Ortak Kat ve EKOK Nedir?

İki veya daha fazla doğal sayının ortak olan pozitif katlarına ortak kat, ortak katların en küçüğüne ise En Küçük Ortak Kat (EKOK) denir.

Örnek: 6 ve 8

6'nın katları

61218243036424854606672

8'in katları

81624324048566472

Ortak katlar: 24, 48, 72, ...

EKOK(6, 8) = 24

Gösterim: A ve B doğal sayıları için en küçük ortak kat EKOK(A, B) biçiminde gösterilir.

Dikkat: Katlar sonsuza kadar devam eder. EKOK ararken ortak katların tamamını değil, ilk pozitif ortak katı bulmamız yeterlidir.

2. EKOK'u Katları Listeleyerek Bulma

Sayılar küçük olduğunda katları sırayla yazmak, ortak katı görmenin en kolay yollarından biridir.

Çözümlü Örnek: 10 ve 12

10'un katları
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, ...

12'nin katları
12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, ...

İlk ortak pozitif kat 60 olduğundan EKOK(10, 12) = 60

Ne zaman kullanışlı? Sayılar küçükse veya katları hızlıca yazılabiliyorsa bu yöntem oldukça pratiktir.

3. Bölen Listesi Yöntemiyle EKOK

İki sayı yan yana yazılır ve sayılardan en az birini bölen asal sayılarla bölmeye devam edilir. Kullanılan tüm asal bölenler çarpıldığında EKOK bulunur.

Örnek: EKOK(40, 50)

40502

20252

10252

5255

155

EKOK(40, 50) = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 = 200

EBOB ile karıştırma: EBOB'da yalnızca iki sayıyı aynı anda bölen asal çarpanlar alınır. EKOK'ta ise bölme algoritmasında kullanılan tüm asal çarpanlar çarpılır.

4. Asal Çarpanlarla EKOK Bulma

Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Aynı tabanlı asal çarpanlardan üssü büyük olan, yalnız bir sayıda bulunan asal çarpanlardan ise o çarpanın kendisi alınır.

Çözümlü Örnek: 120 ve 252

120
120 = 2³ × 3 × 5

252
252 = 2² × 3² × 7

EKOK = 2³ × 3² × 5 × 7 = 2520

Asal çarpanlara ayırHer sayıyı tabanı asal olan üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yaz.

Büyük üsleri seçOrtak asal çarpanlarda büyük üs hangisiyse onu al.

Eksik çarpanı unutmaYalnızca bir sayıda bulunan asal çarpanı da EKOK'a dahil et.

5. Hızlı Kurallar ve Özel Durumlar

Biri diğerinin katıysa
Küçük sayı büyük sayıyı bölüyorsa EKOK büyük sayıdır.
Örnek: EKOK(12, 36) = 36.

EKOK her iki sayının da katıdır
Bulduğunuz sonuç verilen sayıların her ikisine de kalansız bölünebilmelidir.

EKOK sayılardan küçük olamaz
İki pozitif doğal sayının EKOK'u, sayıların en büyüğünden küçük değildir.

Ortak katlar devam eder
EKOK'u bulduktan sonra diğer ortak katlar EKOK'un 2, 3, 4, ... katlarıdır.

Kontrol: Örneğin EKOK(18, 24)=72 ise 72÷18=4 ve 72÷24=3 olmalıdır. İki bölme de kalansızdır.

6. Problemde EKOK'u Nasıl Fark Ederiz?

EKOK problemlerinde genellikle farklı aralıklarla tekrarlanan olayların ilk kez yeniden birlikte gerçekleşmesi ya da bir sayının birkaç farklı sayıya kalansız bölünebilen en küçük değeri aranır.

ilk kez birliktetekrar aynı andaen az kaçhem ... hem ... bölünebileneşit gruplarda açıkta kalanortak periyot

EBOB düşün:
“En büyük eşit parça”, “en büyük paket”, “hiç artmadan bölme” gibi durumlarda.

EKOK düşün:
“İlk kez tekrar birlikte”, “en küçük ortak sayı”, “iki farklı gruplamaya da uygun en az sayı” gibi durumlarda.

7. Gerçek Yaşam: Sefer Saatleri

Farklı aralıklarla kalkan araçlar ne zaman yeniden birlikte hareket eder?

Bir otobüs 18 saatte bir, diğeri 20 saatte bir sefere çıkıyorsa, aynı anda hareket ettikten sonra yeniden birlikte hareket edecekleri süre 18 ve 20'nin EKOK'u ile bulunur.

EKOK(18,20) = 180

İki araç 180 saat sonra yeniden aynı anda sefere çıkar.

Temsili gerçek yaşam fotoğrafı • Unsplash

8. Gerçek Yaşam: Tekrarlanan Döngüler

Aynı noktada yeniden buluşma

Bir koşucu pisti 10 dakikada, diğeri 16 dakikada tamamlıyor ve aynı noktadan aynı anda başlıyor. Başlangıç noktasında ilk kez yeniden yan yana gelmeleri için geçen süre:

EKOK(10,16) = 80 dakika

Her iki koşucunun tur sürelerinin ortak katları içinde en küçük olanı, ilk buluşma zamanını verir.

Temsili gerçek yaşam fotoğrafı • Unsplash

9. Bağlam Temelli Çözümlü Sorular

Soru 1 - Nöbet Takvimi

Bir sağlık çalışanı 8 günde bir, diğeri 12 günde bir nöbet tutmaktadır. Bugün birlikte nöbet tuttuklarına göre kaç gün sonra yeniden birlikte nöbet tutarlar?

Birlikte nöbet günü 8 ve 12'nin ortak katı olmalıdır. En küçük ortak kat EKOK(8,12)=24 olduğundan 24 gün sonra yeniden birlikte nöbet tutarlar.

Soru 2 - Fayans

Kenarları 4 cm ve 6 cm olan özdeş dikdörtgen fayanslar, kesilmeden yan yana getirilerek en küçük kare oluşturulacaktır. Karenin bir kenarı kaç santimetredir ve en az kaç fayans gerekir?

Karenin kenarı hem 4'ün hem 6'nın katı olmalıdır. EKOK(4,6)=12. Kare 12×12'dir. Alanı 144 cm², bir fayansın alanı 24 cm² olduğundan 144÷24=6 fayans gerekir.

Soru 3 - Paketleme ve Kalan

Bir üretici ürünlerini 6'şarlı veya 8'erli paketlediğinde her seferinde 2 ürün artıyor. Ürün sayısı 200'den fazla olduğuna göre en az kaç ürün vardır?

Ürün sayısından 2 çıkarıldığında sayı hem 6'ya hem 8'e bölünmelidir. EKOK(6,8)=24. 200'den büyük en küçük 24 katı 216'dır. 2 eklersek 218 ürün bulunur.

Soru 4 - Işıklı Uyarılar

Bir cihazdaki turuncu ışık 15 saniyede bir, mavi ışık 24 saniyede bir yanmaktadır. İki ışık şimdi birlikte yandı. Kaç saniye sonra ilk kez yeniden birlikte yanarlar?

İlk ortak yanma zamanı EKOK(15,24)'tür. 15=3×5, 24=2³×3 olduğundan EKOK=2³×3×5=120 saniye.

Soru 5 - Çiftlik

Bir çiftlikteki hayvan sayısı hem 24'e hem 36'ya kalansız bölünebilmektedir. Hayvan sayısı 100'den fazla olduğuna göre en az kaç hayvan olabilir?

EKOK(24,36)=72. 72'nin 100'den büyük ilk katı 144 olduğundan en az 144 hayvan olabilir.

Soru 6 - Merdiven

Bir merdivenin basamakları 4'er ve 6'şar sayıldığında her iki durumda da 1 basamak artmaktadır. Basamak sayısı 50 ile 70 arasındadır. Merdiven kaç basamaklıdır?

Basamak sayısından 1 çıkarıldığında sayı 4 ve 6'nın ortak katı olur. EKOK(4,6)=12. 50 ile 70 arasında 12'nin katı 60'tır. 1 eklenirse 61 basamak bulunur.

10. Etkileşimli EKOK Bulucu

İki doğal sayı girin. EKOK değerini, ilk birkaç katı ve kontrolünü anında görün.

1 ile 100 000 arasında iki doğal sayı girebilirsiniz.

11. Uygulayalım

Önce kendiniz çözün, sonra çözümü açın.

Uygulama 1

18 ve 30 sayılarının EKOK'unu bulunuz.

18=2×3², 30=2×3×5. Büyük üsler ve farklı çarpanlar alınır: 2×3²×5=90.

Uygulama 2

72 ve 90 sayılarının EKOK'unu bulunuz.

72=2³×3², 90=2×3²×5. EKOK=2³×3²×5=360.

Uygulama 3

84 ve 126 sayılarının EKOK'u kaçtır?

84=2²×3×7, 126=2×3²×7. EKOK=2²×3²×7=252.

Uygulama 4

EKOK(16, 40) kaçtır?

16=2⁴, 40=2³×5. EKOK=2⁴×5=80.

Uygulama 5

Bir zil 9 dakikada, diğer zil 12 dakikada bir çalıyor. Saat 10.00'da birlikte çaldılarsa ilk kez saat kaçta yeniden birlikte çalarlar?

EKOK(9,12)=36 dakikadır. 10.00 + 36 dakika = 10.36.

Uygulama 6

Bir sayı 15 ve 20'ye kalansız bölünebiliyor ve 100'den büyüktür. Bu koşulları sağlayan en küçük sayı kaçtır?

EKOK(15,20)=60. 100'den büyük ilk 60 katı 120'dir.

Uygulama 7

24 sayısı 8'in katı olduğuna göre EKOK(8,24) değerini işlem yapmadan söyleyiniz.

Büyük sayı küçük sayının katı olduğundan EKOK=24.

12. Mini Kontrol

Seçeneğe tıklayın. Cevabınız anında değerlendirilsin.

Soru 1

EKOK(12,18) kaçtır?

Soru 2

Bir otobüs 15 dakikada, diğeri 20 dakikada bir hareket ediyor. Aynı anda hareket ettiklerinde kaç dakika sonra ilk kez yeniden birlikte hareket ederler?

Soru 3

40 ve 50 sayılarının EKOK'u kaçtır?

Soru 4

Bir problemde “iki olayın ilk kez yeniden aynı anda gerçekleşmesi” isteniyorsa öncelikle hangi kavram düşünülmelidir?

Soru 5

6'şarlı ve 8'erli gruplandığında her defasında 2 artan bir sayı için hangi ifade mutlaka doğrudur?

Düşün - Açıkla

Neden “ilk kez yeniden birlikte” sorularında EKOK kullanırız? 6 ve 8 sayılarının katlarından yararlanarak açıklayınız.

13. Sık Yapılan Hatalar

İlk ortak kat yerine herhangi bir ortak katı seçmek
6 ve 8 için 48 ortak kattır ama EKOK değildir. İlk ortak kat 24'tür.

Asal çarpanlarda küçük üssü almak
EKOK hesaplanırken ortak asal çarpanların büyük üsleri seçilir.

Bölen listesinde yalnız ortak bölenleri çarpmak
Bu EBOB yöntemidir. EKOK'ta kullanılan tüm asal bölenler çarpılır.

Kalanlı sorularda kalanı unutmak
“6'ya ve 8'e bölündüğünde 2 artıyor” ise sayı doğrudan 24'ün katı değil, 24'ün katının 2 fazlasıdır.

Kısa özet: Katları listele → ilk ortak katı bul. Ya da asal çarpanlara ayır → ortak tabanlarda büyük üsleri ve diğer asal çarpanları al → çarp.

Konu sınırı: Bu içerik ortak kat ve EKOK kavramı, EKOK bulma yöntemleri, periyodik tekrar ve en küçük ortak sayı gerektiren bağlam temelli problemlerle sınırlıdır. Aralarında asal sayılar bir sonraki konu anlatımında ayrıntılı ele alınacaktır.