8. Sınıf Aralarında Asal Sayılar Konu Anlatımı

1. Aralarında Asal Sayılar Nedir?

İki doğal sayının 1'den başka ortak böleni yoksa bu sayılara aralarında asal sayılar denir.

Örnek: 8 ve 25

8: 1, 2, 4, 8

25: 1, 5, 25

Ortak bölen yalnızca 1.
Bu nedenle 8 ve 25 aralarında asaldır.

Örnek: 18 ve 30

18: 1, 2, 3, 6, 9, 18

30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

1 dışında 2, 3 ve 6 da ortaktır.
Bu nedenle 18 ve 30 aralarında asal değildir.

Çok önemli: “Aralarında asal” demek sayıların ayrı ayrı asal olması demek değildir. Örneğin 8 ve 25 asal sayı değildir; fakat birlikte değerlendirildiklerinde aralarında asaldırlar.

2. Aralarında Asal Olup Olmadığını Nasıl Anlarız?

Bölenleri karşılaştırİki sayının bölenlerini yaz. Ortak bölen yalnız 1 ise aralarında asaldır.

EBOB'u kontrol etEBOB(A,B)=1 ise A ile B aralarında asaldır.

Asal çarpanlara bakOrtak asal çarpan yoksa sayılar aralarında asaldır.

Hızlı kontrol

28 ve 45 aralarında asal mı?

28 = 2² × 7
Asal çarpanları: 2 ve 7

45 = 3² × 5
Asal çarpanları: 3 ve 5

Ortak asal çarpan yok → EBOB(28,45)=1

Sonuç: 28 ve 45 aralarında asaldır.

3. Sık Karşılaşılan Özel Durumlar

1 ve herhangi bir pozitif tam sayı1'in 1'den başka böleni olmadığı için 1, bütün pozitif tam sayılarla aralarında asaldır.

İki farklı asal sayıÖrneğin 17 ve 23'ün ortak böleni yalnızca 1'dir.

Ardışık doğal sayılarÖrneğin 42 ve 43 her zaman aralarında asaldır.

Ortak asal çarpanı olmayan bileşik sayılarÖrneğin 12=2²×3 ve 25=5² olduğundan 12 ile 25 aralarında asaldır.

Dikkat: “İki sayı tek ise aralarında asaldır” diye bir kural yoktur. Örneğin 15 ve 21 tek sayıdır ama ortak bölenleri 3 olduğundan aralarında asal değildir.

4. Aralarında Asal Sayılarda EBOB ve EKOK

Önceki iki konuyla bağlantıyı kurduğumuzda çok güçlü iki sonuç elde ederiz.

EBOB

EBOB(A,B) = 1

Bu ifade, A ile B'nin aralarında asal olduğunun doğrudan göstergesidir.

EKOK

EKOK(A,B) = A × B

Bu eşitlik A ile B aralarında asal olduğunda geçerlidir.

Örnek: 9 ve 28

9=3², 28=2²×7 olduğundan ortak asal çarpan yoktur.

EBOB(9,28)=1•EKOK(9,28)=9×28=252

Hatırlatma: İki doğal sayı için genel olarak A × B = EBOB(A,B) × EKOK(A,B) bağıntısı vardır. Aralarında asal sayılarda EBOB 1 olduğu için EKOK doğrudan sayıların çarpımına eşit olur.

5. Sade Kesirler ile Bağlantı

Bir kesir tamamen sadeleştirildiğinde pay ve paydanın ortak böleni 1 olur; yani pay ile payda aralarında asaldır.

Örnek

42/91 = 6/13

6 ve 13'ün 1'den başka ortak böleni yoktur. Bu nedenle 6/13 kesri en sade hâldedir.

Düşün

Bir kesrin payı ile paydası aralarında asal değilse kesir neden en sade hâlde olamaz?

6. Gerçek Yaşamla Bağlantı: Farklı Gruplama Yapıları

35 kg ve 48 kg ürün

Bir depoda iki farklı ürün sırasıyla 35 kg ve 48 kg'lık bölümlerde tutuluyor. 35=5×7 ve 48=2⁴×3 olduğundan ortak asal çarpan yoktur. Bu iki sayı aralarında asaldır.

Bu tür durumlarda sayıları asal çarpanlarına ayırmak, ortak yapı olup olmadığını hızlıca görmemizi sağlar.

Gerçek fotoğraf • Unsplash

Sıralar halinde ağaçların bulunduğu tarım arazisi

Dikdörtgen bahçe ve kenar uzunlukları

Kenar uzunlukları doğal sayı olan bir dikdörtgende, kenarların aralarında asal olması istenebilir. Böyle sorularda alanın çarpan çiftleri incelenir ve her çift için EBOB kontrol edilir.

Örneğin alan 42 br² ise 5×? değil; gerçek çarpan çiftleri 1×42, 2×21, 3×14 ve 6×7'dir. Bunlardan 6 ve 7 ardışık olduğu için aralarında asaldır.

Gerçek fotoğraf • Unsplash

7. Çözümlü Örnekler

Örnek 1

32 ve 45 aralarında asal mıdır?

32=2⁵ ve 45=3²×5. Ortak asal çarpan olmadığı için aralarında asaldır.

Örnek 2

26 ve 39 aralarında asal mıdır?

26=2×13 ve 39=3×13. Ortak asal çarpan 13 olduğundan aralarında asal değildir. EBOB(26,39)=13.

Örnek 3

Aralarında asal iki doğal sayının EKOK'u 120, toplamları 23'tür. Sayıları bulunuz.

Aralarında asal oldukları için çarpımları 120'dir. Çarpan çiftleri incelenir: 1×120, 2×60, 3×40, 4×30, 5×24, 6×20, 8×15, 10×12. Toplamı 23 olan çift 8 ve 15'tir. Ayrıca EBOB(8,15)=1.

Örnek 4

x/y = 42/91 ve x ile y aralarında asaldır. x+y kaçtır?

42/91 kesri 7 ile sadeleşir: 42/91=6/13. 6 ve 13 aralarında asal olduğundan x=6, y=13 ve x+y=19.

8. Bağlam Temelli Sorular

Soruyu okuyun, matematiksel ilişkiyi kurun ve sonra çözümü kontrol edin.

Soru 1 - Dikdörtgen

Çevresi 38 cm olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları doğal sayı ve aralarında asaldır. Kısa kenar en fazla kaç santimetre olabilir?

2(a+b)=38 olduğundan a+b=19. Kısa kenarı en büyük yapmak için kenarlar birbirine en yakın seçilir: 9 ve 10. Ardışık olduklarından aralarında asaldır. Kısa kenar 9 cm.

Soru 2 - Alan

Alanı 72 br² olan bir dikdörtgenin kenarları 1'den büyük doğal sayılar ve aralarında asaldır. Aşağıdaki çarpan çiftlerinden hangisi bu koşulu sağlar: 2×36, 3×24, 8×9, 6×12?

EBOB(2,36)=2, EBOB(3,24)=3, EBOB(6,12)=6; fakat EBOB(8,9)=1. Doğru çift 8 ve 9.

Soru 3 - Sayı Kartları

Bir kartta 36, diğer kartta iki basamaklı 4A sayısı yazıyor. 36 ile 4A aralarında asal olduğuna göre A için 1, 3, 5, 7 rakamlarından hangileri kullanılabilir?

36'nın asal çarpanları 2 ve 3'tür. 41 ne 2'ye ne 3'e bölünür → uygun. 43 de uygun. 45, 3'e bölünür → uygun değil. 47 uygundur. Verilen sıraya göre A=1, 3 ve 7.

Soru 4 - EBOB ve EKOK

Aralarında asal A ve B sayıları için EKOK(A,B)=84 ve A=7 olduğuna göre B kaçtır?

Aralarında asal olduklarından EKOK=A×B. 84=7×B olduğundan B=12. EBOB(7,12)=1 olduğu için koşul sağlanır.

Soru 5 - Kesir

Bir tarifte kullanılan iki ölçünün oranı 54/72 olarak verilmiştir. Oran en sade hâle getirildiğinde pay ile paydanın toplamı kaç olur?

EBOB(54,72)=18. 54/72=3/4. 3 ve 4 aralarında asaldır. Toplam 7.

Soru 6 - Ardışık Sayılar

Bir dijital oyunda ekrana gelen sayı ile ondan sonraki doğal sayının EBOB'u hesaplanıyor. Ekranda 128 varsa sonuç kaçtır?

128 ve 129 ardışık doğal sayılardır. Ardışık doğal sayılar aralarında asal olduğundan EBOB(128,129)=1.

9. Etkileşimli Aralarında Asal Kontrolü

İki doğal sayı girin. EBOB'u, asal çarpanlarını ve aralarında asal olup olmadıklarını anında görün.

1 ile 100 000 arasında iki doğal sayı girebilirsiniz.

10. Uygulayalım

Önce kendiniz çözün, sonra çözümü açın.

Uygulama 1

14 ve 25 aralarında asal mıdır?

14=2×7, 25=5². Ortak asal çarpan yoktur. Evet.

Uygulama 2

21 ve 35 aralarında asal mıdır?

21=3×7, 35=5×7. Ortak asal çarpan 7 olduğundan hayır.

Uygulama 3

Aralarında asal iki sayının EBOB'u kaçtır?

Uygulama 4

Aralarında asal 8 ve 27 sayılarının EKOK'unu bulunuz.

EKOK=8×27=216.

Uygulama 5

51 ile aşağıdaki sayılardan hangisi aralarında asaldır: 14, 21, 34, 39?

51=3×17. 14=2×7 ortak asal çarpan içermez. Diğerlerinin 3 veya 17 ile ortaklığı vardır. Cevap 14.

Uygulama 6

Birbirini izleyen 74 ve 75 sayılarının EBOB'unu işlem yapmadan söyleyiniz.

Ardışık doğal sayılar aralarında asal olduğu için EBOB=1.

Uygulama 7

Aralarında asal A ve B sayılarının çarpımı 143'tür. A ve B 1'den büyük olduğuna göre sayıları bulunuz.

143=11×13. 11 ve 13 farklı asal sayılar olduğundan aralarında asaldır. A ve B: 11 ile 13.

Uygulama 8

60/84 kesrini en sade hâle getiriniz ve elde edilen pay ile paydanın aralarında asal olduğunu gösteriniz.

EBOB(60,84)=12. 60/84=5/7. EBOB(5,7)=1, yani 5 ve 7 aralarında asaldır.

11. Mini Kontrol

Seçeneğe tıklayın. Cevabınız anında değerlendirilsin.

Soru 1

Hangisi aralarında asal bir sayı çiftidir?

Soru 2

Aralarında asal iki doğal sayının EKOK'u neye eşittir?

Soru 3

Aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

Soru 4

24 ve 35 için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Soru 5

35/50 kesri en sade hâle getirildiğinde pay ve payda hangi sayı çifti olur?

Düşün - Açıkla

8 ve 25 asal sayı olmadığı hâlde neden aralarında asal olabilir? “Asal sayı” ile “aralarında asal” kavramlarının farkını kendi cümlelerinle açıklayınız.

12. Sık Yapılan Hatalar

İki sayının da asal olması gerektiğini düşünmek
Yanlış. 8 ve 25 bileşik sayıdır ama aralarında asaldır.

Sadece ortak asal çarpanlardan birini gözden kaçırmak
Örneğin 26 ve 39'da ortak 13 faktörü vardır; bu yüzden aralarında asal değildir.

“İkisi de tek” veya “biri tek biri çift” diye karar vermek
Tek-çift bilgisi tek başına yeterli değildir. EBOB veya asal çarpanlar kontrol edilmelidir.

EKOK'u her zaman sayıların çarpımı sanmak
EKOK=A×B eşitliği yalnızca A ile B aralarında asal olduğunda doğrudan geçerlidir.

Kısa özet: Ortak bölen yalnız 1 → aralarında asal. EBOB=1. Ortak asal çarpan yok. Aralarında asal iki sayıda EKOK sayıların çarpımına eşit.

1'den başka ortak bölen yokEBOB = 1ortak asal çarpan yokEKOK = çarpımardışık sayılar

Konu sınırı: Bu içerik aralarında asal sayıların tanımı, belirlenmesi, EBOB-EKOK ilişkisi, en sade kesir ve bağlam temelli uygulamalarla sınırlıdır. Bir sonraki konu “Tam Sayıların Tam Sayı Kuvvetleri”dir.