53
125
1. Üslü İfadeyi Hatırlayalım
Aynı sayının art arda çarpımını kısa biçimde göstermek için üslü ifadeleri kullanırız.
an
a: taban • n: üs (kuvvet)
34
3 × 3 × 3 × 3 = 81
(−2)5
5 tane (−2) çarpılır
Tanım: a bir tam sayı, n bir doğal sayı olmak üzere n tane a'nın çarpımına karşılık gelen an ifadesine üslü ifade denir.
5 × 5 × 5 çarpımını üslü yazınız.
5 × 5 × 5 = 53
(−6) × (−6) × (−6) × (−6) çarpımını üslü yazınız.
= (−6)4
2. Negatif Tabanlarda İşaret
Negatif bir sayı parantez içinde taban olduğunda sonucun işaretini üssün tek ya da çift olması belirler.
(−3)2Pozitif
9
9
(−3)3Negatif
−27
−27
(−2)6Pozitif
64
64
(−2)5Negatif
−32
−32
Kural: Negatif tabanın çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir.
Parantez var:
(−2)4 = 16
Taban −2'dir. Dört tane negatif sayı çarpılır.
≠
Parantez yok:
−24 = −16
Üs yalnızca 2'ye aittir; baştaki eksi işareti sonuçta kalır.
En sık yapılan hata: (−2)4 ile −24 aynı ifade değildir. Paranteze mutlaka dikkat edin.
3. Sıfırıncı Kuvvet
Sıfırdan farklı bir tam sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir.
a ≠ 0 ise a0 = 1
70 = 1
Taban pozitiftir.
Taban pozitiftir.
(−12)0 = 1
Taban negatiftir.
Taban negatiftir.
00
Bu kuralın kapsamına girmez; çünkü kuralda tabanın sıfırdan farklı olması gerekir.
Bu kuralın kapsamına girmez; çünkü kuralda tabanın sıfırdan farklı olması gerekir.
Hatırla: “Üs 0 ise sonuç 0'dır.” düşüncesi yanlıştır. Sıfırdan farklı bir tabanda sonuç 1 olur.
4. Negatif Tam Sayı Kuvvetleri
Üs negatif olduğunda tabanın çarpma işlemine göre tersi alınır ve üs pozitif yapılır.
a ≠ 0, n > 0 için a−n = 1 / an
1
Tabanı koruÖnce üslü ifadedeki tabanı doğru belirle. Paranteze dikkat et.2
Tersini alNegatif üs varsa ifade 1'in payda olduğu kesir biçimine geçer.3
Üssü pozitif yapPaydadaki kuvveti hesapla ve işareti kontrol et.5−2 = 1 / 52 = 1/25
(−2)−3 = 1 / (−2)3 = −1/8
Dikkat: Negatif üs, sonucun mutlaka negatif olduğu anlamına gelmez. Örneğin (−2)−4=1/16 pozitiftir.
5. Örüntüyle Keşfedelim
Üs her 1 azaldığında değer tabana bölünür. 5 tabanında örüntüyü izleyelim.
52
25
51
5
50
1
5−1
1/5
5−2
1/25
5−3
1/125
Gözlem: 125 → 25 → 5 → 1 → 1/5 → 1/25 → 1/125. Her adımda 5'e bölüyoruz. Bu örüntü sıfırıncı ve negatif kuvvetlerin neden böyle tanımlandığını görmemizi sağlar.
6. Gerçek Yaşamla Bağlantı
Bakteri kültürü ve üstel büyüme
Bir bakteri kültüründe canlı sayısı belirli aralıklarla aynı katına çıkıyorsa tekrar eden çarpımlar üslü ifadeyle gösterilebilir.
Örneğin başlangıçta 4 bakteri bulunan ve her saat 2 katına çıkan bir kültürde 5 saat sonraki sayı 4 × 25 = 128 olur.
Gerçek fotoğraf • Unsplash
Tiyatro salonunda sayıları üslü ifade ile modelleme
Büyük sayıları kısa ve anlaşılır biçimde ifade etmek için kuvvetlerden yararlanabiliriz. Örneğin bir salonda 24 erkek ve 33 kadın izleyici varsa toplam sayı 16 + 27 = 43 olur.
Kapasite 43=64 kişi ise geriye 21 kişilik yer kalır.
Gerçek fotoğraf • Unsplash
7. Çözümlü Örnekler
(−4)3 ifadesinin değerini bulunuz.
(−4)×(−4)×(−4)=16×(−4)=−64. Üs tek olduğu için sonuç negatiftir.
(−3)4 ifadesinin değerini bulunuz.
(−3)×(−3)×(−3)×(−3)=81. Üs çift olduğu için sonuç pozitiftir.
7−3 ifadesini kesir biçiminde yazınız.
Negatif üs nedeniyle tabanın tersi alınır: 7−3=1/73=1/343.
(−5)0 + (−2)4 işleminin sonucunu bulunuz.
(−5)0=1 ve (−2)4=16. Toplam 17.
−32 ile (−3)2 ifadelerini karşılaştırınız.
−32=−(32)=−9; (−3)2=9. Parantez tabanı değiştirir.
8. Bağlam Temelli Sorular
Önce problemi modelleyin, ardından çözümü açarak kontrol edin.
Başlangıçta 3 bakteri bulunan bir kültürde bakteri sayısı her saat 3 katına çıkıyor. 4 saat sonra kaç bakteri olur?
4 saatte dört kez 3 ile çarpılır: 3×34=35=243.
Bir tiyatro salonunda 24 erkek, 33 kadın izleyici vardır. Salonun kapasitesi 43 kişidir. Boş koltuk sayısı kaçtır?
24=16, 33=27, 43=64. İzleyici sayısı 43; boş koltuk sayısı 64−43=21.
Bir depoda 4 bölüm, her bölümde 4 raf, her rafta 4 kutu ve her kutuda 4 paket vardır. Toplam paket sayısını üslü ifade ile yazınız ve bulunuz.
4×4×4×4=44=256 paket.
Bir modelde her yeni aşamada uzunluk öncekinin 1/2'sine düşüyor. Başlangıç uzunluğu 1 birim ise 5. küçültme sonunda uzunluk kaç birim olur?
Her aşamada 2'ye bölme, 2'nin negatif kuvvetiyle gösterilebilir: 2−5=1/32 birim.
Bir kartta (−2)6, diğer kartta (−4)3 yazıyor. Kartlardaki sayıların toplamı kaçtır?
(−2)6=64 ve (−4)3=−64. Toplam 0.
Bir dijital şifrenin ilk parçası 50, ikinci parçası 25, üçüncü parçası ise (−1)8 olarak tanımlanıyor. Bu üç değerin toplamı kaçtır?
50=1, 25=32, (−1)8=1. Toplam 34.
A=(−3)4, B=−34, C=(−3)−2 olduğuna göre A, B ve C'nin işaretlerini belirleyiniz.
A=81 → pozitif. B=−81 → negatif. C=1/9 → pozitif. Dolayısıyla A ve C pozitif, B negatiftir.
9. Etkileşimli Kuvvet Hesaplayıcı
Tam sayı taban ve tam sayı üs girin. Sıfırıncı ve negatif kuvvetler dâhil sonucu adımlarıyla görün.
Örnek: taban −2, üs −3 girerek deneyebilirsiniz.
10. İşaret Tahmin Aracı
Negatif tabanlı bir üslü ifadede sonucu hesaplamadan önce işaretini tahmin edin.
Negatif bir taban ve pozitif bir üs girin.
11. Uygulayalım
Önce kendiniz çözün, sonra çözümü açın.
(−2)7 kaçtır?
Üs tek → sonuç negatif. 27=128, sonuç −128.
(−4)4 kaçtır?
Üs çift → sonuç pozitif. 44=256.
90 + (−7)0 kaçtır?
Her iki taban da sıfırdan farklıdır. 1+1=2.
3−4 ifadesini kesir biçiminde yazınız.
3−4=1/34=1/81.
(−5)−2 ifadesinin değeri nedir?
(−5)−2=1/(−5)2=1/25.
−43 ile (−4)3 ifadelerinin değerleri aynı mıdır?
−43=−64 ve (−4)3=−64. Bu örnekte aynıdır; çünkü üs tektir. Ancak çift üslerde sonuçlar farklı olur.
343=7n olduğuna göre n kaçtır?
7×7×7=343 olduğundan n=3.
5n=625 olduğuna göre n kaçtır?
5×5×5×5=625 olduğundan n=4.
(−1)101 ve (−1)202 değerlerini bulunuz.
Tek üs → −1, çift üs → 1. Sonuçlar sırasıyla −1 ve 1.
2−4, (−4)−2 ve (−2)−4 sayılarını karşılaştırınız.
2−4=1/16, (−4)−2=1/16 ve (−2)−4=1/16. Üçü de eşittir.
12. Mini Kontrol
Seçeneğe tıklayın. Cevabınız anında değerlendirilsin.
(−3)5 işleminin sonucu hangisidir?
5−2 ifadesinin değeri nedir?
Aşağıdakilerden hangisinin değeri pozitiftir?
70 + (−1)8 kaçtır?
Hangi ifade −16'ya eşittir?
Neden 3−2 sayısı −9 değildir? “Negatif üs” kavramını kendi cümlenizle açıklayınız.
13. Sık Yapılan Hatalar
Negatif taban ile negatif üssü karıştırmak
(−2)3=−8 ama 2−3=1/8'dir. Biri tabanın, diğeri üssün işaretidir.
(−2)3=−8 ama 2−3=1/8'dir. Biri tabanın, diğeri üssün işaretidir.
Negatif üste “eksi sonuç” demek
Negatif üs ters alma anlamına gelir. İşareti taban ve üssün tek-çiftliği belirler.
Negatif üs ters alma anlamına gelir. İşareti taban ve üssün tek-çiftliği belirler.
Parantezi göz ardı etmek
(−3)2=9 iken −32=−9'dur.
(−3)2=9 iken −32=−9'dur.
Sıfırıncı kuvveti 0 sanmak
Sıfırdan farklı her taban için a0=1'dir.
Sıfırdan farklı her taban için a0=1'dir.
(−1)'in kuvvetlerinde işareti kaçırmak
Üs tekse −1, çiftse 1 olur.
Üs tekse −1, çiftse 1 olur.
0'ın negatif kuvvetini hesaplamaya çalışmak
Negatif kuvvette ters alma gerekir; 1/0 oluşacağı için bu kullanım geçerli değildir.
Negatif kuvvette ters alma gerekir; 1/0 oluşacağı için bu kullanım geçerli değildir.
14. Konu Özeti
Pozitif üs
an, n tane a'nın çarpımıdır.
an, n tane a'nın çarpımıdır.
Negatif taban
Çift üs → pozitif, tek üs → negatif sonuç.
Çift üs → pozitif, tek üs → negatif sonuç.
Sıfırıncı kuvvet
a≠0 için a0=1.
a≠0 için a0=1.
Negatif üs
a≠0 için a−n=1/an.
a≠0 için a−n=1/an.
tabanüs / kuvvetnegatif tabançift - tek üsa⁰ = 1negatif üs = ters almaparantez
Konu sınırı: Bu içerik tam sayı tabanlı üslü ifadelerin anlamı, pozitif-sıfır-negatif tam sayı kuvvetleri, işaret ve parantez kuralları ile bağlam temelli uygulamalarla sınırlıdır. Üslü ifadelerde üssün üssü, çarpma ve bölme kuralları sonraki konularda ele alınacaktır.