1. Bir Sayıyı 10'un Tam Sayı Kuvvetleriyle İfade Etmek

Bir sayı, a · 10n biçiminde farklı şekillerde yazılabilir. Burada n bir tam sayıdır. Katsayı olan a ile üs olan n birlikte değişir; sayının değeri ise aynı kalır.

78 000 = 78·103 = 780·102 = 7 800 000·10−2
Temel düşünce: 10'un kuvvetini büyütürsen katsayıyı küçültürsün; 10'un kuvvetini küçültürsen katsayıyı büyütürsün.

2. Neden Aynı Sayının Birden Fazla Gösterimi Var?

Çünkü 10 ile çarpma ve bölme, virgülün yerini değiştirir. Bu değişiklik katsayı ile 10'un kuvveti arasında dengelenir.

a · 10n
Başlangıç gösterimi
⇄
(10a) · 10n−1
Katsayı 10 kat → üs 1 azalır
a · 10n
Başlangıç gösterimi
⇄
(a/10) · 10n+1
Katsayı 10'a bölünür → üs 1 artar
Çözümlü Örnek 1

39,4 · 104 sayısını 10'un 3. ve 5. kuvvetini kullanarak yazalım.

39,4·104 = 394·103
39,4·104 = 3,94·105
Gözlem: 39,4 → 394 olurken virgül 1 basamak sağa gitti, bu yüzden üs 4'ten 3'e düştü. 39,4 → 3,94 olurken virgül 1 basamak sola gitti, bu yüzden üs 4'ten 5'e çıktı.

3. Virgül Hareketi ile Üs Değişimi

Katsayıdaki virgül ile 10'un üssü zıt yönde hareket eder.

3,2 · 105
=
32 · 104
=
320 · 103
3,2 · 105
=
0,32 · 106
=
0,032 · 107
Virgül sağa giderse
Katsayı büyür.
10'un üssü aynı miktarda azalır.
Virgül sola giderse
Katsayı küçülür.
10'un üssü aynı miktarda artar.

4. Pozitif ve Negatif Kuvvetlerle Gösterim

Aynı sayı pozitif, sıfır veya negatif bir 10 kuvveti kullanılarak yazılabilir.

Çözümlü Örnek 2

78 000 sayısını farklı 10 kuvvetleriyle gösterelim.

78 000 = 78·103
78 000 = 780·102
78 000 = 78 000·100
78 000 = 780 000·10−1
78 000 = 7 800 000·10−2
Unutma: 100 = 1, 10−1 = 0,1 ve 10−2 = 0,01'dir.

5. Küçük Sayılarda Aynı Mantık

Çok küçük sayılarda da katsayı ile üs birbirini dengeler.

Çözümlü Örnek 3

0,02 · 10−6 sayısını 10'un −5. ve −7. kuvvetini kullanarak yazalım.

0,02·10−6 = 0,002·10−5
0,02·10−6 = 0,2·10−7
Çözümlü Örnek 4

0,0007 = a·10−5 ise a kaçtır?

0,0007 = 70·10−5

Bu nedenle a = 70.

6. Belirli Bir 10 Kuvvetiyle Yazma

Soruda hangi kuvvetin kullanılacağı verilmişse önce 10n'in değerini düşün, sonra katsayıyı bul.

1
İstenen üssü görÖrneğin 5680 = ? · 103.
2
10 kuvvetinin değerini bul103 = 1000.
3
Katsayıyı hesapla5680 ÷ 1000 = 5,68.
Örnek
5680 = 56,8·102
Örnek
5680 = 5,68·103
Örnek
28,3 = 283·10−1
Örnek
28,3 = 28 300·10−3

7. Eşit Gösterimleri Tanıma

İki ifadenin aynı sayıyı gösterip göstermediğini anlamak için katsayı ve üs değişimini birlikte kontrol et.

İfade 1İfade 2SonuçNeden?
15·10−71,5·10−6EşitKatsayı 10'a bölünmüş, üs 1 artmış.
0,308·10−7308·10−10EşitKatsayı 1000 kat, üs 3 azalmış.
1,1·109110·107EşitKatsayı 100 kat, üs 2 azalmış.
2,001·10−22001·105Eşit değilKatsayı 1000 kat büyürken üs 3 azalmalıydı; 5'e çıkmamalıydı.

8. 10'un Kuvvetleriyle Çarpma ve Karşılaştırma

Bu gösterimler üzerinde işlem yaparken üslü ifadelerin önceki kurallarından yararlanırız.

Çözümlü Örnek 5

300·400 = 12·10n ise n kaçtır?

300 = 3·102,   400 = 4·102
300·400 = 12·104

Bu nedenle n = 4.

Çözümlü Örnek 6

A = 35·1021 ve B = 25·10−13 ise A·B'yi düzenleyelim.

A·B = (35·25)·1021−13 = 65·108
Bağlantı: Burada hem “üsleri aynı ifadeleri çarpma” hem de “tabanları aynı 10 kuvvetlerini çarpma” kurallarını birlikte kullanıyoruz.

9. Sayıları Karşılaştırırken

Pozitif a·10n ifadelerinde önce üslerin büyüklüğü önemli bir ipucudur; ancak katsayıları da birlikte değerlendirmek gerekir.

Örnek

x = 5·10−4, y = 3·10−5, z = 2·10−3

x = 0,0005    y = 0,00003    z = 0,002
z > x > y
Dikkat: Negatif üslerde “−3, −4'ten büyüktür” ve 10−3, 10−4'ten büyüktür. Negatif işaretli sayıların karşılaştırılması ise ayrıca işaret dikkati gerektirir.

10. Gerçek Hayat Bağlantısı

Uzaydan Dünya görünümü
Gezegenler arası uzaklıklar

Dünya'nın Güneş'e uzaklığı yaklaşık 149 600 000 km kabul edilirse bu sayı farklı biçimlerde yazılabilir:

149 600 000 = 149,6·106 = 14,96·107 = 1,496·108

Bu konu, bir sonraki bilimsel gösterim konusunun temelini oluşturur.

Görsel: Unsplash — gerçek Dünya/uzay fotoğrafı.

Bilgisayar ve sayısal veri
Çok büyük ve çok küçük veriler

Bilgisayar, fizik ve astronomide büyük sayıların yanı sıra çok küçük büyüklüklerle de karşılaşılır. Örneğin:

0,00003 = 3·10−5

Bu tür yazımlar sayının büyüklüğünü ve basamak yapısını daha kolay görmemizi sağlar.

Görsel: Unsplash — gerçek bilgisayar/veri çalışma ortamı.

11. Bilimsel Gösterimle Karıştırma

Bu konuda herhangi bir sayı a·10n biçiminde farklı şekillerde yazılabilir. Ancak her böyle yazım bilimsel gösterim değildir.

10'un kuvvetleriyle ifade etme
149 600 000 = 149,6·106
Bu gösterim geçerlidir.
Bilimsel gösterim
149 600 000 = 1,496·108
Katsayının mutlak değeri 1 ile 10 arasındadır.
Bu dersin sınırı: Şimdilik sayıyı farklı 10 kuvvetleriyle doğru biçimde yazmayı öğreniyoruz. Katsayının özel olarak 1 ile 10 arasında seçildiği bilimsel gösterim bir sonraki konudur.

12. Bağlam Temelli Çözümlü Sorular

Bağlam Temelli 1

Bir depoda 320 000 ürün bulunmaktadır. Bu sayı 104 kullanılarak nasıl ifade edilir?

320 000 ÷ 10 000 = 32 olduğundan 32·104.
Bağlam Temelli 2

Bir sensörün ölçtüğü değer 0,00008'dir. Bu sayı 10−6 kullanılarak nasıl yazılır?

80·10−6, çünkü 80×0,000001 = 0,00008.
Bağlam Temelli 3

Bir yolun uzunluğu 121 000 000 mm'dir. Bu sayı 106 kullanılarak nasıl yazılır?

121·106 mm.
Bağlam Temelli 4

Bir veri paketinin büyüklüğü 4,2·107 birimdir. Aynı sayı 105 kullanılarak nasıl yazılır?

Üs 2 azalıyor; katsayı 100 kat büyür: 420·105.
Bağlam Temelli 5

Bir laboratuvar ölçümü 0,006·10−4 olarak verilmiştir. Aynı değer 10−6 kullanılarak yazılacaktır. Katsayı kaç olur?

Üs −4'ten −6'ya 2 azalır; katsayı 100 kat büyür. 0,6·10−6.
Bağlam Temelli 6

Bir astronomi tablosunda 57 000 000 km uzaklık 57·106 biçiminde verilmiştir. Aynı uzaklığı 107 kullanarak yazınız.

Üs 1 artınca katsayı 10'a bölünür: 5,7·107 km.

13. Etkileşimli 10 Kuvveti Dönüştürücü

Bir sayı ve kullanmak istediğin 10 kuvvetini gir. Araç gerekli katsayıyı bulsun.

78 000 = 78·10³

Eşdeğer Gösterimler

Aşağıdaki araç seçilen gösterimin iki üst ve iki alt komşu 10 kuvvetini otomatik üretir.

39,4·10⁴ = 394·10³ = 3,94·10⁵

14. Uygulama Soruları

Uygulama 1

28,3 sayısını 10−2 kullanarak yazınız.

2830·10−2
Uygulama 2

5680 sayısını 104 kullanarak yazınız.

0,568·104
Uygulama 3

8,34·10−7 sayısını 10−8 kullanarak yazınız.

83,4·10−8
Uygulama 4

70,2·107 ifadesini 106 kullanarak yazınız.

702·106
Uygulama 5

x·10−5 = 0,23·102 olduğuna göre x kaçtır?

Sağ taraf 23'tür. x·10−5=23 ⇒ x = 2 300 000.
Uygulama 6

0,0001 = 10x ise x kaçtır?

x = −4
Uygulama 7

1 000 000 sayısını 10'un bir kuvveti olarak yazınız.

106
Uygulama 8

3·10−5 sayısının ondalık gösterimini yazınız.

0,00003
Uygulama 9

300·400 işleminin sonucunu 12·10n biçiminde yazınız.

12·104, yani n = 4.
Uygulama 10

5·10−4, 3·10−5, 2·10−3 sayılarını büyükten küçüğe sıralayınız.

2·10−3 > 5·10−4 > 3·10−5

15. Mini Test

Cevabı seç; sistem anında kontrol etsin.

1) 39,4·10⁴ ifadesinin 10³ kullanılarak yazılmış hâli hangisidir?

2) 0,0001 hangi 10 kuvvetidir?

3) Hangisi 15·10⁻⁷ ile eşittir?

4) 3·10⁻⁵ sayısı hangisidir?

5) 5680 = a·10³ olduğuna göre a kaçtır?

16. Sık Yapılan Hatalar

Hata 1: Katsayı 10 kat büyürken üssü de artırmak.
Doğrusu: Katsayı büyürse üs azalır.
Hata 2: 10−3'ü −1000 sanmak.
Doğrusu: 10−3 = 0,001.
Hata 3: Her a·10n gösterimini bilimsel gösterim sanmak.
Hata 4: Negatif üslerde sayının küçüldüğünü ama işaretin negatif olmadığını unutmak.

17. Konu Özeti

a·10ⁿ Katsayı ×10 → üs −1 Katsayı ÷10 → üs +1 10⁰ = 1 10⁻¹ = 0,1 10⁻² = 0,01 Aynı sayı, farklı 10 kuvvetleriyle yazılabilir.
En önemli denge: Katsayının virgülünü bir basamak sağa kaydırırsan üssü 1 azalt; bir basamak sola kaydırırsan üssü 1 artır. Böylece sayının değeri değişmez.
dersmatematik.net • 8. Sınıf Matematik • Etkileşimli Konu Anlatımı