Bazı doğal sayılar, karelerle dikdörtgen oluştururken yalnızca 1 × sayının kendisi biçiminde düzenlenebilir. İşte bu özellik bizi asal sayılara götürür.
Kare taşlarla dikdörtgen kurduğunu düşün.
Örneğin 6 taşı 1×6 veya 2×3 biçiminde düzenleyebiliriz. Ama 5 taşı doğal sayı kenar uzunluklarıyla yalnızca 1×5 biçiminde düzenleyebiliriz.
Merak sorusu: Bir sayının farklı dikdörtgen modellerinin sayısı, o sayının çarpanları hakkında bize ne söyler?
Görsel bu çalışma için özgün olarak üretilmiş ve sıkıştırılmıştır.
2. Asal Sayı Nedir?
Tanım: Sadece iki farklı doğal sayı çarpanı olan sayılara asal sayı denir.
23 = 1 × 23
23 sayısının doğal sayı çarpanları yalnızca 1 ve 23 olduğundan 23 asal sayıdır.
7'nin çarpanları: 1 ve 7 İki farklı çarpanı var → asal.
8'in çarpanları: 1, 2, 4 ve 8 İkiden fazla çarpanı var → asal değil.
3. Karelerle Modelleyelim
2'den 9'a kadar bazı sayıları birim karelerle dikdörtgen biçiminde düşünelim.
Fark ettin mi? 2, 3, 5 ve 7 sayılarında doğal sayı kenar uzunluklarıyla yalnızca 1 × sayı dikdörtgeni oluşur. Bunlar asaldır.
4. 1 Neden Asal Değildir?
1'in doğal sayı çarpanı: yalnızca 1
Asal sayı olabilmek için iki farklı doğal sayı çarpanı gerekir. 1'in yalnızca bir çarpanı olduğundan 1 asal sayı değildir.
Dikkat: “1 sadece kendisine bölünüyor, o hâlde asaldır.” düşüncesi yanlıştır. Tanım iki farklı çarpan ister.
5. En Küçük Asal Sayı ve Tek Çift Asal Sayı
En küçük asal sayı 2'dir.
2'nin çarpanları yalnızca 1 ve 2'dir.
2'den başka çift asal sayı yoktur.
2'den büyük her çift sayı hem 1'e, hem 2'ye, hem de kendisine bölünür.
234567891011
6. 100'e Kadar Asal Sayılar
Aşağıdaki sayılar 100'e kadar olan asal sayılardır.
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
Ezberlemek yerine yöntemi öğren: Bir sayının asal olup olmadığını çarpanlarını inceleyerek veya aşağıdaki Eratosthenes kalburunu kullanarak belirleyebilirsin.
7. Eratosthenes Kalburu – Etkileşimli
100'e kadar asal sayıları bulmak için 2, 3, 5 ve 7'nin kendileri dışındaki katlarını sırayla ele.
12'yi işaretle2'nin 2'den büyük katlarını ele.
23'ü işaretle3'ün 3'ten büyük katlarını ele.
35'i işaretle5'in 5'ten büyük katlarını ele.
47'yi işaretle7'nin 7'den büyük katlarını ele.
İlk adım için 2'nin katlarını ele.
8. Bir Sayı Asal mı? Adım Adım Düşün
9. Etkileşimli “Asal mı?” Kontrol Aracı
Bir doğal sayı yaz. Araç çarpanlarını bulsun ve asal olup olmadığını açıklasın.
10. EVET–HAYIR Oyunu
1'den 25'e kadar bir kart seç. Diğer kartlardan hangilerinin seçilen sayıyı kalansız böldüğünü gör.
11. Çözümlü Örnekler
Örnek 1
29 asal sayı mıdır?
29'un doğal sayı çarpanları yalnızca 1 ve 29'dur. İki farklı çarpanı olduğu için 29 asaldır.
Örnek 2
35 asal sayı mıdır?
35 = 1×35 ve 35 = 5×7. Çarpanları 1, 5, 7 ve 35'tir. İkiden fazla çarpanı olduğu için asal değildir.
Örnek 3
51 asal sayı mıdır?
5+1=6 olduğundan 51, 3'e kalansız bölünür. 51=3×17 olduğuna göre 1 ve kendisi dışında çarpanı vardır. Asal değildir.
12. Asal Kenarlı Dikdörtgenler
Kenar uzunlukları asal sayı olan ve alanı 20 br² ile 30 br² arasında bulunan dikdörtgenleri düşünelim.
2 × 11 = 22 Çevre: 2×(2+11)=26 br
3 × 7 = 21 Çevre: 2×(3+7)=20 br
5 × 5 = 25 Çevre: 2×(5+5)=20 br
2 × 13 = 26 Çevre: 2×(2+13)=30 br
Neden başka yok? 20 ile 30 arasındaki diğer alanlar, iki asal sayının çarpımı biçiminde uygun kenar uzunlukları vermiyor.
13. Asal Sayı Avı
1'den 50'ye kadar tabloda asal olduğunu düşündüğün sayılara dokun. Her seçim anında kontrol edilir.
Başlamak için bir sayıya dokun.
14. Uygulama Soruları
Uygulama 1
13 sayısının doğal sayı çarpanlarını yazınız ve asal olup olmadığını belirleyiniz.
Çarpanları 1 ve 13'tür. İki farklı çarpanı olduğu için asaldır.
Uygulama 2
21 sayısı asal mıdır?
Hayır. 21=3×7 olduğundan 1 ve kendisi dışında 3 ve 7 çarpanları da vardır.
Uygulama 3
2'den başka neden çift asal sayı yoktur?
2'den büyük her çift doğal sayı 2'ye kalansız bölünür. Bu nedenle 1 ve kendisi dışında en az bir çarpanı daha vardır.
Uygulama 4
1 asal sayı mıdır? Gerekçenizi yazınız.
Hayır. Çünkü yalnızca bir doğal sayı çarpanı vardır: 1.
Uygulama 5
40 ile 50 arasındaki asal sayıları bulunuz.
41, 43 ve 47.
Uygulama 6
Bir doğal sayının yalnızca iki farklı çarpanı varsa bu sayı için ne söylenebilir?
Bu doğal sayı asal sayıdır.
15. Mini Test
Seçeneğe dokun; cevap anında kontrol edilsin.
1) Aşağıdakilerden hangisi asal sayıdır?
2) 1 sayısının asal olmamasının nedeni nedir?
3) En küçük asal sayı hangisidir?
4) Aşağıdakilerden hangisi 2'den başka çift asal sayı için doğrudur?
5) 47 sayısının çarpanları hangileridir?
16. Sık Yapılan Hatalar
Hata 1: 1'i asal saymak. Doğrusu: 1'in yalnızca bir çarpanı vardır.
Hata 2: Her tek sayıyı asal sanmak. Doğrusu: 9, 15, 21 gibi tek olup asal olmayan sayılar vardır.
Hata 3: 2'yi asal değil sanmak. Doğrusu: 2, en küçük ve tek çift asal sayıdır.
Hata 4: Bir sayının asal olduğunu sadece “tek” olmasına bakarak söylemek. Doğrusu: Çarpanlarını kontrol etmek gerekir.
17. Konu Özeti
Asal sayı: Sadece iki farklı doğal sayı çarpanı bulunan sayıdır: 1 ve kendisi.
1 Asal değildir.
2 En küçük asal sayıdır.
2 Tek çift asal sayıdır.
100'e kadar asal sayıları bulmanın düzenli yolu: Eratosthenes kalburunda 2, 3, 5 ve 7'nin kendileri dışındaki katlarını elemek.
