1. Asal Çarpanlara İlk Bakış

Bir doğal sayıyı daha küçük çarpanlara ayırdıkça, en sonunda artık parçalanamayan asal sayılara ulaşırız. Bu asal sayılar, sayının asal çarpanlarıdır.

Masada farklı renklerde matematik küpleri
Gruplara ayır, sonra yeniden ayır.

Renkli küpleri önce büyük gruplara, sonra daha küçük gruplara ayırdığını düşün. Bir doğal sayıyı çarpanlarına ayırırken de benzer biçimde ilerleriz. İşlemin sonunda ulaştığımız asal sayılar bize sayının yapısını gösterir.

Merak sorusu: 24 sayısını çarpanlarına ayırmaya farklı yerlerden başlasak, sonunda aynı asal sayılara ulaşır mıyız?
Görsel bu çalışma için özgün olarak üretilmiş ve sıkıştırılmıştır.

2. Asal Çarpan Nedir?

Tanım: Bir doğal sayının çarpanlarından asal sayı olanlarına o doğal sayının asal çarpanları denir.

12 sayısını inceleyelim

1234612

12'nin çarpanları 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir. Bunların içinde asal olanlar 2 ve 3 olduğundan 12'nin asal çarpanları 2 ve 3'tür.

12 = 2 × 2 × 3
Dikkat: “Asal çarpanlar” ile “asal çarpanlarına ayrılmış hâl” aynı şey değildir. 12'nin asal çarpanları 2 ve 3; asal çarpanlarının çarpımı biçimindeki yazılışı ise 2 × 2 × 3'tür.

3. Önce Çarpanları Bulup Asal Olanları Seçme

Küçük sayılarda en kolay yollardan biri, bütün çarpanları bulup bunların içinden asal olanları seçmektir.

25'in çarpanları
1, 5, 25

Asal çarpanı: 5
35'in çarpanları
1, 5, 7, 35

Asal çarpanları: 5 ve 7
44'ün çarpanları
1, 2, 4, 11, 22, 44

Asal çarpanları: 2 ve 11
18'in çarpanları
1, 2, 3, 6, 9, 18

Asal çarpanları: 2 ve 3
Bu yöntem ne zaman kullanışlı? Çarpanları kolay bulunan küçük doğal sayılarda hızlıdır. Büyük sayılarda çarpan ağacı veya asal çarpan algoritması daha pratiktir.

4. Yöntem 1: Çarpan Ağacı

1Sayıyı yazAltına iki dal çıkar.
2İki çarpan seçEn az birini asal seçmek işi kolaylaştırır.
3Asal olmayanı ayırYeni iki çarpana parçala.
4Asallarda durUçlarda yalnızca asal sayılar kalınca bitir.
28 2 14 2 7 28 = 2 × 2 × 7 → Asal çarpanları: 2 ve 7

5. Etkileşimli Çarpan Ağacı

Bir sayı seç. Araç sayıyı asal çarpanlarına ulaşıncaya kadar otomatik olarak dallandırsın.

6. Yöntem 2: Asal Çarpan Algoritması

Bu yöntemde sayıyı, kalansız bölen asal sayılara sırayla böleriz. Bölüm 1 olunca işlem biter.

602
302
153
55
1
60 = 2 × 2 × 3 × 5
60'ın asal çarpanları: 2, 3 ve 5.

Aynı asal sayı birden fazla kez kullanılabilir. Fakat “asal çarpanları” sorulduğunda farklı asal sayıları bir kez yazarız.

7. Etkileşimli Asal Çarpan Algoritması

Bir doğal sayı yaz. Bölme işlemleri adım adım oluşsun.

8. İki Yöntem, Aynı Sonuç

Çarpan ağacında farklı çarpan çiftleriyle başlayabilirsin. Fakat uçlarda elde edilen asal çarpanların çarpımı değişmez.

60 = 6 × 10 ile başla
6 = 2 × 3
10 = 2 × 5

60 = 2 × 2 × 3 × 5

60 = 3 × 20 ile başla
3 asal
20 = 2 × 10 = 2 × 2 × 5

60 = 2 × 2 × 3 × 5

Sonuç: Başlangıç yolu farklı olabilir; asal çarpanlara ayrılmış son çarpım aynıdır.

9. Asal Çarpanlarına Ayırarak Yazma

36
36 = 2 × 2 × 3 × 3
Asal çarpanları: 2, 3
70
70 = 2 × 5 × 7
Asal çarpanları: 2, 5, 7
90
90 = 2 × 3 × 3 × 5
Asal çarpanları: 2, 3, 5
Kontrol yolu: Yazdığın asal sayıları çarp. Başlangıçtaki sayıyı elde ediyorsan çarpım doğrudur.

10. Çözümlü Örnekler

Örnek 1

45 sayısının asal çarpanlarını bulunuz.

45 = 3 × 15 = 3 × 3 × 5. Bu nedenle asal çarpanları 3 ve 5'tir.
Örnek 2

52 sayısının asal çarpanlarını bulunuz.

52 = 2 × 26 = 2 × 2 × 13. Bu nedenle asal çarpanları 2 ve 13'tür.
Örnek 3

72 sayısını asal çarpanlarının çarpımı biçiminde yazınız.

72 = 2 × 36 = 2 × 2 × 18 = 2 × 2 × 2 × 9 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3.
Örnek 4

77'nin en büyük asal çarpanı ile en küçük asal çarpanı arasındaki fark kaçtır?

77 = 7 × 11. En küçük asal çarpan 7, en büyük asal çarpan 11'dir. Fark: 11 − 7 = 4.

11. Etkileşimli Asal Çarpan Bulucu

Sayıyı yaz; asal çarpanlarına ayrılmış hâlini ve farklı asal çarpanlarını birlikte gör.

12. Asal Çarpan Avı

Bir sayı seç. Aşağıdaki asal sayılardan o sayının asal çarpanı olanları işaretle, sonra kontrol et.

Asal çarpan olduğunu düşündüğün sayılara dokun.

13. Asal Çarpanlarla Akıl Yürütme

Bir sayı asal ise?

Asal çarpanı yalnızca kendisidir. Örneğin 47'nin asal çarpanı 47'dir.

Bir sayı çift ise?

2'den büyük çift bir sayının asal çarpanlarından biri mutlaka 2'dir.

Sonu 0 veya 5 ise?

5'ten büyük böyle bir sayının asal çarpanlarından biri 5'tir.

Rakamları toplamı 3'ün katı ise?

3'ten büyük böyle bir sayının asal çarpanlarından biri 3'tür.

14. Uygulama Soruları

Uygulama 1

28 sayısının asal çarpanlarını yazınız.

28 = 2 × 2 × 7 → 2 ve 7.
Uygulama 2

66 sayısını asal çarpanlarının çarpımı biçiminde yazınız.

66 = 2 × 3 × 11.
Uygulama 3

84 sayısının kaç farklı asal çarpanı vardır?

84 = 2 × 2 × 3 × 7. Farklı asal çarpanları 2, 3 ve 7 olduğundan 3 tanedir.
Uygulama 4

98 sayısının asal çarpanlarını bulunuz.

98 = 2 × 49 = 2 × 7 × 7 → 2 ve 7.
Uygulama 5

150 sayısını asal çarpanlarının çarpımı biçiminde yazınız.

150 = 2 × 3 × 5 × 5.
Uygulama 6

Bir doğal sayının asal çarpanları 2, 3 ve 5 ise bu sayı kesin olarak 30 mudur?

Hayır. 60 = 2 × 2 × 3 × 5 ve 90 = 2 × 3 × 3 × 5 gibi farklı sayılar da aynı farklı asal çarpanlara sahip olabilir.

15. Mini Test

Seçeneğe dokun; cevap anında kontrol edilsin.

1) 54 sayısının asal çarpanları hangileridir?

2) Aşağıdakilerden hangisi 70'in asal çarpanıdır?

3) 45'in asal çarpanlarına ayrılmış hâli hangisidir?

4) 52'nin asal çarpanları hangileridir?

5) 84 = 2 × 2 × 3 × 7 olduğuna göre kaç farklı asal çarpanı vardır?

16. Sık Yapılan Hatalar

Hata 1: Asal olmayan çarpanı asal çarpan diye yazmak.
Örnek: 12'nin asal çarpanları arasında 4 yoktur.
Hata 2: Tekrarlanan asal sayıları “asal çarpanlar” listesinde tekrar yazmak.
Doğrusu: 72'nin asal çarpanları 2 ve 3'tür.
Hata 3: Çarpan ağacını asal olmayan bir uçta bırakmak.
Doğrusu: Tüm uçlar asal olana kadar devam et.
Hata 4: Algoritmada asal olmayan sayıya bölmek.
Doğrusu: Bölme çizgisinin sağına asal sayılar yazılır.

17. Konu Özeti

Asal çarpan: Bir doğal sayının çarpanlarından asal sayı olanıdır.
Çarpanları listele
Asal olanları seç.
Çarpan ağacı
Asal uçlara ulaşana kadar dallandır.
Asal çarpan algoritması
Asal sayılara bölerek 1'e ulaş.
Unutma: Bir sayının asal çarpanları farklı asal sayılardır; asal çarpanlarına ayrılmış çarpımda aynı asal sayı birden fazla kez bulunabilir.
dersmatematik.net • 6. Sınıf Matematik • Etkileşimli Konu Anlatımı