8. Sınıf Matematik 1. Dönem 1. Yazılı Senaryo 2 Kazanımları ve Soru Dağılımı

Bu hazırlık, 8. Sınıf Matematik 1. Dönem 1. Yazılı Senaryo 2 kapsamındaki kazanımları konu anlatımı, çözümlü örnekler ve toplam 8 açık uçlu soruyla tekrar etmenizi sağlar. Yazılı öncesinde temel bilgileri pekiştirmenize ve farklı düzeylerdeki sorularla kendinizi değerlendirmenize yardımcı olur.

M.8.1.1.1.Verilen pozitif tam sayıların pozitif tam sayı çarpanlarını bulur, pozitif tam sayıların pozitif tam sayı çarpanlarını üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazar.1 Soru

M.8.1.1.2.İki doğal sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) ve en küçük ortak katını (EKOK) hesaplar, ilgili problemleri çözer.2 Soru

M.8.1.2.2.Üslü ifadelerle ilgili temel kuralları anlar, birbirine denk ifadeler oluşturur.2 Soru

M.8.1.3.2.Tam kare olmayan kareköklü bir sayının hangi iki doğal sayı arasında olduğunu belirler.1 Soru

M.8.1.3.3.Kareköklü bir ifadeyi a√b şeklinde yazar ve a√b şeklindeki ifadede katsayıyı kök içine alır.2 Soru

1. Çarpanlar ve asal çarpanlar 2. EBOB – EKOK 3. Üslü ifadelerin temel kuralları 4. Karekökün bulunduğu aralık 5. a√b biçimi ve kök içine alma

1. Pozitif Tam Sayıların Çarpanları ve Asal Çarpanlara Ayırma

M.8.1.1.1.Verilen pozitif tam sayıların pozitif tam sayı çarpanlarını bulur, pozitif tam sayıların pozitif tam sayı çarpanlarını üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazar. • 1 Soru

Bir pozitif tam sayıyı kalansız bölen pozitif tam sayılar o sayının pozitif tam sayı çarpanlarıdır. Çarpanlar sistemli biçimde, çarpan çiftleri oluşturularak bulunabilir.

84 sayısının çarpanlarını bulurken aşağıdaki çarpan çiftlerinden yararlanabiliriz:

1·84

2·42

3·28

4·21

6·14

7·12

Asal çarpanlara ayırmada sayıyı yalnız asal sayıların çarpımı biçiminde yazarız. Aynı asal çarpanlar üslü biçimde gösterilir.

756 = 2·2·3·3·3·7 = 2²·3³·7

Çözümlü Örnek

294 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

294 = 2·147 = 2·3·49 = 2·3·7²

Çarpan ve Asal Çarpan Aracı

Senaryo 2 • Soru 1 Orta

Bir atölyede 126 adet küçük parça, her kutuda eşit sayıda parça olacak şekilde kutulanacaktır. 126 sayısının tüm pozitif tam sayı çarpanlarını bulunuz ve 126'yı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde üslü olarak yazınız.

126 = 2·3²·7. Pozitif tam sayı çarpanları: 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 126.

2. EBOB ve EKOK Problemleri

M.8.1.1.2.İki doğal sayının EBOB ve EKOK'unu hesaplar, ilgili problemleri çözer. • 2 Soru

EBOB
En büyük eş parça, en büyük grup büyüklüğü, artmadan bölüştürme gibi durumlarda kullanılır.

EKOK
Belirli aralıklarla tekrarlanan olayların yeniden birlikte gerçekleştiği ilk zamanı bulmada kullanılır.

72 = 2³·3² 90 = 2·3²·5

EBOB(72,90)=18 EKOK(72,90)=360

Çözümlü Örnek 1 – EBOB

108 cm ve 162 cm uzunluğundaki iki kablo, hiç artmayacak biçimde eşit ve mümkün olan en uzun parçalara ayrılacaktır.

EBOB(108,162)=54

Her parça 54 cm olur. 108/54=2 ve 162/54=3 olduğundan toplam 5 parça elde edilir.

Çözümlü Örnek 2 – EKOK

Bir zil 12 dakikada, başka bir zil 18 dakikada bir çalıyor. Birlikte çaldıktan sonra yeniden birlikte çalmaları için geçmesi gereken süre:

EKOK(12,18)=36 dakika

Bağlam: Eş aralıklarla düzenleme

Bahçe, yol, raf, kablo ve paketleme problemlerinde “artmayacak şekilde eşit bölme” ifadesi EBOB'u; periyodik hareketlerde “ilk kez yeniden birlikte” ifadesi EKOK'u düşündürür.

Görsel: Unsplash — gerçek bahçe/peyzaj fotoğrafı.

EBOB – EKOK Aracı

Senaryo 2 • Soru 2 Üst Düzey

96 m ve 144 m uzunluğundaki iki farklı renk kurdele, hiç parça artmayacak ve bütün parçalar eşit uzunlukta olacak biçimde kesilecektir. Parçaların uzunluğu mümkün olduğunca büyük seçilirse bir parça kaç metre olur ve toplam kaç parça elde edilir?

EBOB(96,144)=48. Her parça 48 m olur. 96/48=2, 144/48=3; toplam 5 parça.

Senaryo 2 • Soru 3 Üst Düzey

Bir duraktan A servisi 18 dakikada bir, B servisi 24 dakikada bir hareket ediyor. İki servis saat 08.10'da birlikte hareket ettiğine göre yeniden ilk kez saat kaçta birlikte hareket eder?

EKOK(18,24)=72 dakikadır. 08.10 + 72 dakika = 09.22.

3. Üslü İfadelerin Temel Kuralları ve Denk İfadeler

M.8.1.2.2.Üslü ifadelerle ilgili temel kuralları anlar, birbirine denk ifadeler oluşturur. • 2 Soru

İşlem	Kural	Yeni Örnek
Aynı tabanları çarpma	a^m·aⁿ=a^m+n	7²·7⁵=7⁷
Aynı tabanları bölme	a^m:aⁿ=a^m−n	4⁶:4²=4⁴
Üssün üssü	(a^m)ⁿ=a^mn	(3²)⁴=3⁸
Aynı üsleri çarpma	aⁿ·bⁿ=(ab)ⁿ	3⁵·4⁵=12⁵

Çözümlü Örnek 1

(3²)⁴ · 3⁻³ ifadesini tek kuvvet hâline getirelim.

3⁸·3⁻³ = 3⁵

Çözümlü Örnek 2 – Tabanları Eşitleme

8⁴·4³:2⁵ işlemini 2 tabanında yazalım.

(2³)⁴·(2²)³:2⁵ = 2¹²⁺⁶⁻⁵ = 2¹³

Çözümlü Örnek 3 – Negatif Taban

(−5)⁶ : (−5)²

(−5)⁶⁻² = (−5)⁴

Negatif taban parantez içinde yazıldığı için taban −5'tir.

Bağlam: Tekrarlı hesaplama

Bir yazılımda bir değerin önce karesi, sonra elde edilen sonucun küpü alınıyorsa işlem (x²)³=x⁶ biçiminde modellenir. Üssün üssü kuralı, tekrar eden işlem katmanlarını tek ifadede toplamayı sağlar.

Görsel: Unsplash — gerçek bilgisayar/çalışma fotoğrafı.

Üslü İfade Sadeleştirici

a^m · aⁿ : a^p biçimini sadeleştirir.

Senaryo 2 • Soru 4 Orta

(5³)² · 5⁻⁴ : 5 işlemini tek bir 5 kuvveti biçiminde yazınız ve sonucunu bulunuz.

(5³)²=5⁶. 5⁶·5⁻⁴:5¹=5⁶⁻⁴⁻¹=5¹=5.

Senaryo 2 • Soru 5 Üst Düzey

9³ · 27² : 3⁵ ifadesini yalnızca 3 tabanını kullanarak tek bir üslü ifade biçiminde yazınız.

9³=(3²)³=3⁶, 27²=(3³)²=3⁶. Sonuç: 3⁶⁺⁶⁻⁵=3⁷.

4. Tam Kare Olmayan Karekökün Hangi İki Doğal Sayı Arasında Olduğu

M.8.1.3.2.Tam kare olmayan kareköklü bir sayının hangi iki doğal sayı arasında olduğunu belirler. • 1 Soru

√n ifadesinin hangi iki doğal sayı arasında olduğunu belirlemek için n sayısının hemen altındaki ve üstündeki tam kareleri buluruz.

36 < 45 < 49 ⇒ 6 < √45 < 7

Örnek 1
144<150<169 ⇒ 12<√150<13

Örnek 2
81<92<100 ⇒ 9<√92<10

Yakınlık sorulursa: Kök içindeki sayının alt ve üst tam kareye olan uzaklıklarını karşılaştır. Ancak “hangi iki doğal sayı arasında?” sorusunda yalnız aralığı bulmak yeterlidir.

Karekök Aralık Bulucu

Senaryo 2 • Soru 6 Üst Düzey

Alanı 130 m² olan kare biçimindeki bir bahçenin bir kenar uzunluğu metre cinsinden hangi iki ardışık doğal sayı arasındadır? Tam kare sayıları kullanarak açıklayınız.

Bahçenin kenarı √130 m'dir. 121<130<144 olduğundan 11<√130<12. Kenar uzunluğu 11 m ile 12 m arasındadır.

5. Kareköklü İfadeyi a√b Şeklinde Yazma ve Katsayıyı Kök İçine Alma

M.8.1.3.3.Kareköklü bir ifadeyi a√b şeklinde yazar ve a√b şeklindeki ifadede katsayıyı kök içine alır. • 2 Soru

Kök içindeki sayıda tam kare bir çarpan varsa bu çarpanın karekökü kök dışına çıkarılabilir.

√108 = √(36·3) = 6√3

√245 = √(49·5) = 7√5

Katsayıyı kök içine alırken katsayının karesi alınır ve kök içindeki sayı ile çarpılır.

5√6 = √(5²·6) = √150

Çözümlü Örnek 1

√320 ifadesini a√b biçiminde sadeleştirelim.

√320 = √(64·5) = 8√5

Çözümlü Örnek 2

7√3 ifadesinde katsayıyı kök içine alalım.

7√3 = √(7²·3) = √147

Bağlam: Karesel alanlardan uzunluk bulma

Alanı tam kare olmayan kare biçimindeki yüzeylerde kenar uzunluğu kareköklü ifade olur. Kök içindeki tam kare çarpanları dışarı çıkarmak, uzunluğu daha sade biçimde göstermeyi sağlar.

Görsel: Unsplash — gerçek mimari/iç mekân fotoğrafı.

Karekök Sadeleştirici

Katsayıyı Kök İçine Al

Senaryo 2 • Soru 7 Orta

√432 ifadesini a√b biçiminde en sade hâle getiriniz.

432=144·3 olduğundan √432=√(144·3)=12√3.

Senaryo 2 • Soru 8 Üst Düzey

Bir uydu parçasının uzunluğu 4√15 cm olarak verilmiştir. Bu uzunluğu katsayısı 1 olan tek bir kareköklü ifade biçiminde yazınız.

4√15 = √(4²·15)=√(16·15)=√240 cm.

Senaryo 2 İçin Son Kontrol

1 soru: Çarpanlar ve asal çarpanlara ayırma.

2 soru: EBOB–EKOK; hem bölüştürme hem periyot problemi.

2 soru: Üslü ifade kuralları; sadeleştirme ve taban eşitleme.

1 soru: Tam kare olmayan karekökün aralığı.

2 soru: Kök dışına çıkarma ve katsayıyı kök içine alma.

Yazılı stratejisi: Açık uçlu sorularda yalnız sonucu değil, neden o yöntemi kullandığını gösteren ara adımları da yaz. Özellikle EBOB–EKOK ve üslü ifadelerde seçilen işlemin gerekçesi puanlandırmada önemlidir.